[MPSI] Dérivée et dérivée partielle

[euler21]

Bonsoir
Dans un exercice on s'est donné une fonction f de classe C1 de R² dans R,et on s'est proposée de calculer la dérivée de la fonction g définie par : g(x)=f(x,x)
Dans un corrigé je suis tombé sur le résultat suivant :
g'(x)=
Normalement le deuxième terme de cette somme ne devrait pas être nul ??
Merci d'avance pour votre aide

[girdav]

Non, il s'agit de la fonction que l'on évalue en un point de la forme .

[euler21]

Bonsoir Girdav
Apparemment je n'ai pas très bien compris ces notions de différentiabilité. Est ce que tu peux me donner un exemple, comme ça je puisse mieux comprendre ??

[girdav]

En fait on aurait tout aussi bien pu écrire que . La notation désigne une application qui à un point associe .
Par exemple avec on a .

[euler21]

Oui je vois plus clair maintenant merci pour l'explication
Dans la suite de l'exercice on s'est donné cette fois g(x,y)=f(y,f(x,x)) (C'est sadique mais ça permet de mieux comprendre).
Pour appliquer le cours, j'ai posé les deux fonctions auxiliaires u(x,y)=y et v(x,y)=f(x,x)
Puis on a : (les variables u et v sont juste pour améliorer la lisibilité) et donc en considérant toutes les variations en x et y on a alors :

Seulement dans le corrigé on a le résultat suivant en notant h(x)=f(x,x)

quelqu'un peut m'indiquer s'il vous plaît l'erreur que j'ai commise ??

[euler21]

S'il vous plaît quelqu'un peut m'indiquer l'erreur ?? Je suis vraiment confus :triste:

[Doraki]

Tu t'es trompé dans dv/dx (x,y).
v(x,y) = f(x,x), donc dv/dx (x,y) c'est pas seulement df/dx (x,x)

[sniperamine]

S'il vous plaît quelqu'un peut m'indiquer l'erreur ?? Je suis vraiment confus :triste:

Oui doraki a raison et c'était le but de la première question

[Doraki]

Pour appliquer le cours, j'ai posé les deux fonctions auxiliaires u(x,y)=y et v(x,y)=f(x,x)

C'est bien mais c'est pas assez.
Moi je pose une fonction auxiliaire par argument d'une application de fonction :
Ici, x,y,x,y.

g : (x,y) -> f(x=y,y=f(x=x,y=x))

dg/dx (x,y) = df/dx (x,y)
= df/dx (x,y) * dx/dx (x,y) + df/dy (x,y) * dy/dx (x,y)
= df/dx (x,y) * dy/dx (x,y) + df/dy (x,y) * df/dx (x,y)
= df/dx (x,y) * 0 + df/dy (x,y) * (df/dx (x,y) * dx/dx (x,y) + df/dy (x,y) * dy/dx (x,y))
= df/dy (x,y) * (df/dx (x,y) * dx/dx (x,y) + df/dy (x,y) * dx/dx (x,y))
= df/dy (x,y) * (df/dx (x,y) * 1 + df/dy (x,y) * 1)
= df/dy (y,f(x,y)) * (df/dx (x,x) + df/dy (x,x))
= df/dy (y,f(x,x)) * (df/dx (x,x) + df/dy (x,x))

[euler21]

oui je vois la dérivée partielle maintenant ...
Sinon pour la méthode du corrigé (qui me paraît plus rapide) tu peux me dire s'il te plaît comment ils ont appliqué les théorèmes de composition ??