Somme partielle mpsi

[Frederique63]

Bonjour, qui aurait la gentillesse de m’aider ?

Je cherche à calculer la somme partielle de 0 à n de :
(k parmi n) multiplié par (-3)^k
UNIQUEMENT POUR k PAIR.

J’ai essayé tout ce qui me passait par la tête, formule de Pascal, bidouiller les indices, écrire somme des pairs + somme des impairs = (-2)^n ... mais ça ne donne rien je ne m’en sors pas.

Merci d’avance !

[mathelot]

Bonjour,

la somme vaut

[Frederique63]

??? Non, c’est le total ça, comme je l’ai écrit, et non les termes pairs...

[mathelot]

dsl, j'avais mal lu

[Frederique63]

Avez-vous une idée comment extraire les termes pairs ? C’est évidemment le 3 qui me gêne...si c’était 1 ça se ferait, mais là je sèche totalement !

[mathelot]

x réel,





on additionne les deux égalités:

[Frederique63]

Merci, mais il y a une chose que je ne comprends pas : pourquoi peut-on remplacer k par 2m ? Parce que quand on écrit (1+x)^n +(1-x)^n on obtient la somme pour tout k de 0 à n, et non juste pour les k pairs ???
Merci, désolée si je suis ’’lourde’’ !


Edit : ah je viens de comprendreje crois, c’est parce que pour les k impairs, la somme x^k + (-x)^k = 0, c’est cela ?

[mathelot]

Il vient donc

si n est pair, n=2N

[mathelot]

Merci,
Edit : ah je viens de comprendreje crois, c’est parce que pour les k impairs, la somme x^k + (-x)^k = 0, c’est cela ?

oui

[Frederique63]

Merci, c’est bon !!!

[mathelot]

pour n impair
n=2N+1

de même que pour n pair, on obtient pour n impair (n=2N+1):

[Frederique63]

Oui merci, j’avais oublié de distinguer les cas, pour la parité de n... super astuce, les 1+x et 1-x, il faut que je retienne le truc parce que pour avoir l’idée ’’comme ça’’, eh bien dur dur ! Merci bcp !


Edit : je trouve (4^n - 2^n) / 2 pour le cas n impair. En fait, j’ai rédigé une fiche méthode (pour la conserver) SANS remplacer k par 2m. Du coup, pas besoin de distinguer la parité de n, sinon à la toute fin, lorsqu’on veut ’’simplifier’’ le (-2)^n.

[mathelot]

Oui merci, j’avais oublié de distinguer les cas, pour la parité de n... super astuce, les 1+x et 1-x, il faut que je retienne le truc parce que pour avoir l’idée ’’comme ça’’, eh bien dur dur ! Merci bcp !

voilà le contexte "général"
(1+x)^n est une fonction de la variable réelle x.
Pour une fonction f quelconque, on définit la partie paire de f par
p(x)=(1/2)(f(x)+f(-x))
et on définit la partie impaire de f par
i(x)=(1/2)(f(x)-f(-x))

on a les résultats suivant:
f=p+i

f(x)=p(x)+i(x)
p est paire et i est impaire

l'écriture de f en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.

par exemple , le sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle e^x.
le cosinus hyperbolique est la partie paire de l'exponentielle.


Dans l'exercice, on a donc égalisé les parties paires des fonctions de chaque côté de l'égalité.

[Frederique63]

Je le sais, en plus, mais je n’y ai pas du tout pensé dans le contexte car j’étais partie à fond sur une idée de découper en sommes de pairs, et sommes d’impairs, ce qui d’ailleurs obligeait à distinguer la parité de n pour avoir la borne sup de la somme (avec une notation E(...) )
Non seulement c’était moche mais en plus sans issue. Alors que là c’est vraiment joli !

[Ben314]

Salut,
Et si tu regarde la partie reelle de la somme sur k des (k parmi n)×(3i)^k (où i est le complexe de carré -1), ça donne quoi ?