Dénombrabilité

[MaitreMoulax]

Bonsoir camarades,

Voici une question qui pose plusieurs problèmes, merci à ceux qui prendront le temps de rectifier mes erreurs.

L'énoncé est le suivant :

On considère l’ensemble des nombres réels R écrits dans la base décimale A =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. On considère le sous-ensemble P ⊂ R des nombres écrits avec les chiffres 3 et 5 uniquement.

A. Montrer que P n’est pas dénombrable.
B. Montrer que R − P n’est pas dénombrable.
C. Le sous-ensemble des nombres réels dont tous les chiffres sont identiques? Justifiez.

Question A
Je suppose par l'absurde que P est dénombrable =­> il est possible de le mettre en bijection avec N
Soit I= [3,55]. Je veux montrer que cet ensemble n'est pas dénombrable et donc, que P est non dénombrable.
(L'intervalle [3,55] est justifié par le fait qu'en intervertissant les 3 et les 5, on se retrouve avec des nombres 5,55....)

Les éléments de l'intervalle I peuvent se dresser sous cette forme:
1er -­> 3,3333...
2e -> 3,5333...
3e -> 3,3553...
...
Or, en intervertissant les 3 et les 5, l'argument de Cantor montre qu'il existe un nouvel élément ne se trouvant pas dans cette liste. J'en conclu que P est non dénombrable.

Question B
On a que R\P = B , avec base décimale de B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}
De manière analogue à l'exemple précédent, je conclu que R\P est non dénombrable

Question C
Je ne suis pas certain de devoir inclure le 0 ici. Il me semble que selon cette liste
1er -­> ....111,111....
2e -­> .....222,222....
3e -­> .....333,333...
...
9e -­> ...999,999....

sont les seuls nombres légitimes ici, ce qui rend la question triviale. Toutefois, si je dois tenir compte du 0, des nombres tels que 0,110000... existent et je ne ne suis pas en mesure d'effectuer une bijection avec N.

Le problème, c'est que je n'ai aucune certitude dans ce genre d'exercice..
Merci pour le temps que vous me consacrez !
Bonne soirée

[LB2]

Bonsoir,

Si tu admets (ou démontre par un argument de Cantor) que P(N) n'est pas dénombrable, il suffit pour la question A (et donc pour B comme tu l'as dit) de remarquer qu'écrire un nombre 0,********* avec uniquement les chiffres 3 et 5 revient à considérer une suite à valeurs dans {3,5}, ce qui revient à considérer une suite à valeurs dans {0,1}, donc une partie de N.

[LB2]

des nombres tels que 0,110000... existent

Il n'a pas deux chiffres différents celui là? ^^

Effectivement l'ensemble C est dénombrable, tu peux construire à la main une bijection avec N, ou de façon plus rapide utiliser le lemme qu'une union de dénombrables est dénombrable.


J'en profite pour une petite remarque : attention dans tout l'exercice à ne pas confondre "dénombrable" au sens de "en bijection avec N" et "au plus dénombrable" au sens de "s'injecte dans N", c'est à dire "fini ou dénombrable".

Souvent il vaut mieux manipuler des ensembles "au plus dénombrable"