Dénombrabilité

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je n'arrive pas à démarrer sur cet exercice:

1) Montrer que l'ensemble des applications de dans est équipotent à , ensemble des parties de .

2) Le produit cartésien d'une famille dénombrable d'ensemble au plus dénombrable est-il au plus dénombrable?

Merci pour vos indications

[fahr451]

bonsoir

N n 'y est pour rien

prends E un ensemble quelconque

phi : P(E) -> F (E,{0,1 })
A -> phi(A) où phi (A) est la fonction caractéristique de A (vaut 1 sur A et 0 sur le complémentaire)

phi est bijective

2) cf 1) ... avec N cette fois

[legeniedesalpages]

je pensais utiliser le fait que pour une suite , il existe unique ensemble défini par

du coup j'ai une bijection non?

[legeniedesalpages]

bonsoir fahr,

désolé je n'avais pas vu ton post,
merci pour tes éclaircissements.

[legeniedesalpages]

pour montrer que est non dénombrable, je ne vois pas comment procéder?

est-ce que je peux dire que ou seulement qu'il existe une injection de dans ?

[legeniedesalpages]

encore un autre exo où je bloque dès la première question:

Soit un ensemble dénombrable.

1) Montrer que, pour tout entier , l'ensemble des parties de ayant au plus éléments est dénombrable.

2) En déduire que l'ensemble des parties finies de est dénombrable.

3) L'ensemble de toutes les parties de est-il dénombrable?

[fahr451]

bonjour

on peut écrire


J = { x(k) k dans N }

posons

E (k) = { x(i) i=< k }, E(k) est fini

et P( E(k), n) ) l'ensemble des parties à au plus n éléments de E(k)

ensemble fini

on a l'ensemble des parties de J à au plus n éléments = U P(E(k) ,n) qui est donc dénombrable (l'union porte sur k et n'est pas disjointe)

[legeniedesalpages]

Bonjour fahr,

désolé je ne comprends pas.

est l'ensemble des termes d'une suite , mais cette suite est à valeurs dans quoi? dans ?

[fahr451]

ah oui j'ai fait une coquille

ce E là c 'est ton J bien sûr (quelle idée d'appeler J l ensemble :id: )

et le dernier J c'est l'ensemble des parties à au plus n éléments

je corrige

[legeniedesalpages]

ah ok, et donc est une bijection de dans ?

[fahr451]

oui une numération de J

[legeniedesalpages]

ok, je crois que j'ai compris, donc il me reste à montrer que l'ensemble des parties de J à au plus n éléments est infini pour montrer qu'il est dénombrable.

[fahr451]

est ce dur?
n>0
il ya déjà tous les singletons en nombre infini

[legeniedesalpages]

ah oui c'est vrai :briques:

merci pour ton aide fahr :)

[SimonB]

Tes conventions ne disent-elles pas qu'un ensemble fini est dénombrable ?

(Les conventions à ce sujet semblent varier, selon l'humeur du rédacteur...)

[fahr451]

à partir du moment où il emploie "au plus dénombrable" c'est que non