Dénombrabilité

par **arnaud26** » 26 Nov 2007, 22:29

J'ai deux questions quant à la dénombrabilité, les voici
1) On sait que

est dénombrable et donc qu'on peut énumérer les nombres rationnels. Est-ce rigoureux d'écrire : soit

, la suite de tous les nombres rationnels ?

2) Si j'ai une suite d'ensemble

, est-ce correct de les définir comme

si non comment les définir avec un seul indice naturel ?
Merci de votre aide

par **legeniedesalpages** » 26 Nov 2007, 22:31

arnaud26 a écrit:J'ai deux questions quant à la dénombrabilité, les voici
1) On sait que est dénombrable et donc qu'on peut énumérer les nombres rationnels. Est-ce rigoureux d'écrire : soit , la suite de tous les nombres rationnels ?

2) Si j'ai une suite d'ensemble , est-ce correct de les définir comme si non comment les définir avec un seul indice naturel ?
Merci de votre aide

Salut pour la 1), pour être encore plus rigoureux, il vaut mieux dire

soit

, une suite de tous les nombres rationnels.

On peut énumérer de pleins de façons les nombres rationnels.

par **legeniedesalpages** » 26 Nov 2007, 22:34

Pour la 2), considèrer une bijection de

dans

(on sait qu'il en existe).

C'est ce qui est sous-entendu dans ta définition, et je pense qu'elle est correcte pour cause de flemme de rentrer dans des détails techniques en général.

par **arnaud26** » 26 Nov 2007, 22:34

d'accord merci, ne me manque plus que le numéro 2 alors.

par **arnaud26** » 26 Nov 2007, 22:37

ok merci beaucoup ca répond parfaitement à mes questions

par **Lierre Aeripz** » 26 Nov 2007, 23:21

Attention cependant au piège classique : on peut prendre une suite parcourant tous les rationnels, mais on ne peut pas la prendre croissante. On ne peut pas dire "quitte à renuméroter, prenons une suite croissante", même si on se limite aux rationnels positifs.

par **legeniedesalpages** » 26 Nov 2007, 23:25

Bonjour Lierre Aeripz, je n'avais jamais pensé à ça.

Comment peut-on montrer qu'on ne peut attraper une telle suite? :hein:

par **arnaud26** » 27 Nov 2007, 01:10

Une telle suite ne peut exister car on ne peut pas trouver deux rationnels consécutifs. Par la densité des rationnels dans les réels, entre supposons x_k et x_k+1, il va y avoir une infinité de rationnels.

par **legeniedesalpages** » 27 Nov 2007, 02:35

ah oui effectivement.

merci arnaud :)

par **leon1789** » 27 Nov 2007, 21:01

arnaud26 a écrit:Une telle suite ne peut exister car on ne peut pas trouver deux rationnels consécutifs. Par la densité des rationnels dans les réels, entre supposons x_k et x_k+1, il va y avoir une infinité de rationnels.

Je trouve que "densité de Q dans R" est un bien grand mot !
Disons simplement qu'entre deux rationnels x et y , il y a leur moyenne (x+y)/2. Cela suffit pour assurer l'impossibilité.

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