Dénombrabilité

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

Je voulais savoir si pour prouver qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable, on est obligé d'utiliser l'axiome du choix, ou s'il y avait éventuellement une méthode qui n'utilise pas cet axiome.
Car mis à part la démo de wiki ([url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable#R.C3.A9union_d.27ensembles_d.C3.A9nombrables]http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable#R.C3.A9union_d.27ensembles_d.C3.A9nombrables[/url]), je ne connais pas d'autres méthodes pour le démontrer.

Merci pour vos indications

[ThSQ]

C'est l'Axiome du Choix Dénombrable, une version allégée de l'AC.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix#Axiome_du_choix_d.C3.A9nombrable

Sinon une version qui n'utilise aucun Axiome du Choix :

(là on donne la liste explicitement, pas le choix ) des ensembles dénombrables alors est dénombrable.

[legeniedesalpages]

Bonjour ThSQ,

je ne saisis pas la subtilité.

Si j'ai bien compris,

on passe d'abord de à car est dénombrable.

Mais alors comment affirmer que ?

[aviateurpilot]

on suppsoe que et on pose
on a donc
maintenant on peut supposer que
donc ce cas on a
donc est denombrable

[legeniedesalpages]

ah oui d'accord,

merci AviateurPilot.

[ThSQ]

on passe d'abord de à car est dénombrable.[/TEX]?

Pas d'accord même si c'est "évident" le passage de l'un à l'autre (comme l'a fait sans crier gare l'aviateur) nécessite un axiome du choix (AC dénombrable ici).

Mais bon, comme dit mon prof, dans "la vie de tous les jours" l'AC (sans parler de l'ACD) est considéré comme allant de soi.

[aviateurpilot]

Pas d'accord même si c'est "évident" le passage de l'un à l'autre (comme l'a fait sans crier gare l'aviateur) nécessite un axiome du choix (AC dénombrable ici).

Mais bon, comme dit mon prof, dans "la vie de tous les jours" l'AC (sans parler de l'ACD) est considéré comme allant de soi.

moi je ne connais pas l'axiome du choix je l'ai jamais vu dans mes cours (je suis dans le debut de math spé)
mais j'ai utlisé (facile par double inclusion) ou

[ThSQ]

(facile par double inclusion)

Pas d'accord. C'est pas si simple. Mais peu importe.

[aviateurpilot]

Pas d'accord. C'est pas si simple. Mais peu importe.

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[legeniedesalpages]

Aïe,

je ne comprends décidément pas où intervient cet axiome du choix dans la démo d'aviateurPilot, et comment veux-tu montrer que cette réunion est dénombrable sans axiome du choix (dénombrable ou non). ??

[aviateurpilot]

c'est koi l'axiom de choix??????

[ThSQ]

legeniedesalpages c'est très bien expliqué là :

http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/choix.html#ccdc

[bruce.ml]

c'est koi l'axiom de choix??????

Ca dit que si t'as un ensemble infini d'ensembles non vides, alors tu peux choisir un élement dans chaque ensemble de ton ensemble.

je sais au début on se demande où est le problème :marteau:

[legeniedesalpages]

Merci ThSQ, je vais regarder ça.

Aviateur, tu peux regarder sur wiki mais je trouve que c'est pas très bien expliqué. Sinon il y a ce pdf sympa http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/DehornoyChap4.pdf.

L'axiome du choix peut s'énoncer ainsi:

Soit un ensemble non-vide et une famille de sous-ensembles non vides de indexée par un ensemble non vide .

Alors on peut trouver une application (appelée fonction du choix) telle que :

[CENTER][/CENTER]

L'axiome du choix dénombrable s'énonce pareil mais avec dénombrable.

[legeniedesalpages]

Ca dit que si t'as un ensemble infini d'ensembles non vides, alors tu peux choisir un élement dans chaque ensemble de ton ensemble.

je sais au début on se demande où est le problème :marteau:

Oui mais quand on voit certaines de ses conséquences pas du tout intuitives, comme le paradoxe de Banach-Tarski, on comprend pourquoi il est un peu mis à l'écart des autres axiomes.