Demo sur les groupes

[Anonyme]

salut a tous j'ai un petit problem :

soit (G1,.) , (G2,*) deux groupes , f un morphisme de groupe de (G1,.) dans (G2,*)
on appelle noyau de f l'ensemble noté Ker(f) defini par Ker(f)={x1 appartient a G1 / f(x1)=eG2}

je doit demontré que Ker(f) est un sous groupe de (G1,.)

j'arrive pas trop a saisir le cour
merci de toute aide eventuelle

[Galt]

Tu dois montrer :
si x et y appartiennent à kerf, alors x.y appartient à ker f
neutre de G1 appartient à ker f
si x appartient à kerf, alors son inverse appartient à kerf

[mathador]

Bonsoir
en Algèbre il faut très souvent revenir aux définitions :
pour montrer que Ker f est un sous groupe, il faut montrer :
1. que le neutre de . appartient à Ker f
2. que si a et b sont dans Ker f, a.b est dans Ker f (stabilité pour la loi)
3. que si a est dans Ker b, il existe a' dans Ker f tel que a.a' = a'.a = eG1 (stabilité par passage au symétrique)

La condition 1. est vérifiée par propriété du morphisme : l'image du neutre 1 est le neutre 2.
Si a et b sont dans Ker f, f(a.b) = f(a)*f(b) (propriété fondamentale d'un morphisme !) = eG2*eG2 (car a et b sont dans Ker f) = eG2. Donc a.b est dans Ker f.
Enfin, soit a dans Ker f. a admet un symétrique a' dans G1 car c'est un groupe, reste à prouver que f(a') = eG2.
Calculons : f(a.a')=f(a)*f(a')=eG2*f(a')=f(a').
De plus, f(a.a')=f(eG1)=eG2. On a donc f(a')=eG2, ce qui équivaut à dire que a' est dans Ker f.

On conclut : Le noyau d'un morphisme de groupes est une sous-groupe du premier groupe. CQFD

Les points importants : Les propriétés d'un morphisme ( f(a.b)=f(a)*f(b) ) et la définition du noyau : c'est l'ensemble des antécédents de l'élément neutre de la seconde loi. Donc par définition, f(Ker f) = {eG2}, i.e. pour tout x de Ker f, f(x) = eG2.

Voili voilà, il te reste à faire une ou deux pages d'exercices, et ce sera acquis ! Bon courage !