Courbe paramétré

[marek16]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les courbes paramétrées , merci d'avance pour votre aide.


Dans tous le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal ( o, i , j) (unité 5cm). On considère les droite (delta) et (delta') d'équations respectives x=1 x=-1
Une droite variable (D), passant par o et de coefficient directeur t (t appartient a R), coupe (delta) en P.
La parallèle à (o,i) passant par P coupe (delta') en P'

Question 1 : Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.

question 2 : Soit M(x,y) le projeté orthogonal de P' sur la droite (D)

a) Déterminer les coordonnées des vecteurs OP et P'M

M est confondu avec o

Coordonnées des vecteurs OP et P'M

O(0,0)
P(1,1)
P'(-1,1)
M(0,0)

vecteur OP (1,1)
vecteur P'M (1,-1)

question 2 b) En deduire que les coordonnées de M sont données par
x=(t²-1)/(t²+1) y=t*((t²-1)/(t²+1))

je ne sais pas comment faire

[chan79]

salut
coordonnées de P(1,t)

[Sourire_banane]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les courbes paramétrées , merci d'avance pour votre aide.


Dans tous le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal ( o, i , j) (unité 5cm). On considère les droite (delta) et (delta') d'équations respectives x=1 x=-1
Une droite variable (D), passant par o et de coefficient directeur t (t appartient a R), coupe (delta) en P.
La parallèle à (o,i) passant par P coupe (delta') en P'

Question 1 : Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.

question 2 : Soit M(x,y) le projeté orthogonal de P' sur la droite (D)

a) Déterminer les coordonnées des vecteurs OP et P'M

M est confondu avec o

Coordonnées des vecteurs OP et P'M

O(0,0)
P(1,1)
P'(-1,1)
M(0,0)

vecteur OP (1,1)
vecteur P'M (1,-1)

question 2 b) En deduire que les coordonnées de M sont données par
x=(t²-1)/(t²+1) y=t*((t²-1)/(t²+1))

je ne sais pas comment faire

Salut,

Attention à ce que tu fais. On te dit que (D) est une droite variable de coeff directeur t. Jamais on t'a dit que le coeff valait 1. Donc O=(0,0) et P=(1, t) car t'as forcément une abscisse de 1 (P=(Delta);)(D)) et après on meuble ça pour avoir une tangente égale à t.
P' c'est de l'autre côté projeté sur (Delta') donc on a P'=(-1, t).
Commençons à déterminer les vecteurs qu'il faut : OP=(1, t) et P'M est (x+1, y-t), M=(x,y)
Par produit scalaire, on retombe bien sur les relations de la question b.

[marek16]

merci , en effet j'ai pas fait attention j'ai pas mis le t dans les coordonnées


j'arrive pas a comprendre a 2)b , on utilise quel produit scalaire ?


en gros j'ai bien compris que si je prend t=1 x=(1²-1)/(1²+1)=0 y=1*(1²-1)/(1²+1)=0

t=2 x=3/5 y=6/5

que si t=1 M(0,0) P'M(0+1,0-t)
t=2 M(3/5,6/5) P'M(3/5+1,6/5-2)

mais je sais pas comment deduire que les coordonnées de M sont x=(t²-1)/(t²+1)

y=(t*(t²-1)/(t²+1)

[Sourire_banane]

merci , en effet j'ai pas fait attention j'ai pas mis le t dans les coordonnées


j'arrive pas a comprendre a 2)b , on utilise quel produit scalaire ?


en gros j'ai bien compris que si je prend t=1 x=(1²-1)/(1²+1)=0 y=1*(1²-1)/(1²+1)=0

t=2 x=3/5 y=6/5

que si t=1 M(0,0) P'M(0+1,0-t)
t=2 M(3/5,6/5) P'M(3/5+1,6/5-2)

mais je sais pas comment deduire que les coordonnées de M sont x=(t²-1)/(t²+1)

y=(t*(t²-1)/(t²+1)

Pas besoin de te lancer dans tout ça. Faut juste remarquer que (OP) et (P'M) sont orthogonaux.

[marek16]

je dit juste qu'ils sont orthogonaux ?

il y a pas de formule pour demontrer les coordonnées de m?

[marek16]

je dit juste qu'ils sont orthogonaux ?

il y a pas de formule pour demontrer les coordonnées de m?

j'arrive pas a deduire les coordonnées de M par produit scalaire

[Sourire_banane]

Ben le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

[marek16]

l'équation de (D) est y=tx

le produit scalaire P'M.OP=0 donc (x+1)+(y-t)t=0

aprés je sais pas trop

[Sourire_banane]

l'équation de (D) est y=tx

le produit scalaire P'M.OP=0 donc (x+1)+(y-t)t=0

aprés je sais pas trop

On sait que M appartient à (OP) donc ses coordonnées (x,y) vérifient une relation de proportionnalité :
y=tx.

[marek16]

oui je sais que y=tx et (x+1)+(y-t)t=0

mais c'est aprés j'arrive pas

[Sourire_banane]

oui je sais que y=tx et (x+1)+(y-t)t=0

mais c'est aprés j'arrive pas

Remplace y...

[marek16]

oui j'ai essayer mais j'arrive pas a retrouver les coordonnées de M


(x+1)+yt-t²=0

x+1+yt=t²

x+yt=t²-1

x+t²x=t²-1

[Sourire_banane]

oui j'ai essayer mais j'arrive pas a retrouver les coordonnées de M

Voyons, un peu d'efforts.
Si tu remplaces y par tx dans l'équation (x+1)+t(y-t)=0 c'est-à-dire quand t'as x+1+t²x-t²=0, tu factorises ce qui est en x par x ce qui donne x(1+t²)=t²-1
Et donc x=...

[marek16]

(x+1)+yt-t²=0

x+1+yt=t²

x+yt=t²-1

x+t²x=t²-1

oui j'avais pas fait la factorisation

x(1+t²)=t²-1

x=t²-1/t²+1

[marek16]

et du coup comme y=tx on remplace et on obtient directement le x et on obtient y=t*(t²-1)/t²+1

[Sourire_banane]

Oui, c'est ça.