Derivé de fonction composé avec courbe parametré

[Jo757]

Bonjour j'ai ceci dans mon cours et j'ai du mal a en comprendre l'application :

Soit F fonction C1 , G(t)=(x(t);y(t)) un arc parametré C1.

On a : (F°G)'(t)=dF/dx (x(t);y(t))*x'(t) + dF/dy (x(t);y(t))*y'(t)

Je vais essayer d'expliquer mon soucis avec un exemple :
f(x)=5x+3y
x(t)=4t²+2
y(t)=3t

Donc pour appliquer la formule
(F°g)'(t)= (5(4t²+2))*8t + 0 . Est ce que ceci est juste ? Ou bien faut il rajouter l'expression de y(t) d'une maniere ou d'une autre dans le premiere membre ?


Merci d'avance

[Doraki]

Pourquoi tu as pris une fonction F qui ne dépend pas de y ?

Ensuite, dans la formule, je comprends pas comment t'as fait pour que l'évaluation de la fonction dF/dx en (x(t),y(t)) devienne 5(4t²+2)

Ensuite, t'as calculé concrètement la fonction F°G (t) ? tu l'as dérivée ? tu as comparé les deux résultats ?

[Jo757]

Pourquoi tu as pris une fonction F qui ne dépend pas de y ?

Erreur bete de ma part .

Disons que f=5x+3y

Ensuite, dans la formule, je comprends pas comment t'as fait pour que l'évaluation de la fonction dF/dx en (x(t),y(t)) devienne 5(4t²+2)

Moi non plus en fait, c'est ca mon soucis . je ne sais pas le faire.

Ensuite, t'as calculé concrètement la fonction F°G (t) ? tu l'as dérivée ? tu as comparé les deux résultats ?

Bah nan je ne l'ai pas calculé etant donné que ce que j'ai cité est le theorème qui permet de le faire , et je ne le comprend pas bien.

Tout ca n'est pas pour un exercice, c'est juste pour que j'arrive a comprendre mon cours .

[Doraki]

Non non non tu confonds un théorème avec une définition.

Une définition c'est ce que t'as appris en première qui te dit ce que c'est qu'une fonction dérivée.
Un théorème, ben des fois c'est un truc cool qui te dit "hey regarde voilà un moyen de calculer ce truc compliqué si tu connais ces trucs simples".

Alors reprenons.

On prend F(x,y) = 5x+3y
X(t) = 4t²+2
Y(t) = 3t
Pour simplifier, je mets aussi les ensembles de définitions avec un code couleur pour différencier le rôle des variables (aussi parceque j'aime pas quand "x" désigne à la fois une variable et une fonction):
je mets les variables t en vert, x en bleu, y en rouge, et le résultat de F en noir.

F : R*R -> R
X : R -> R
Y : R -> R

Qu'est-ce que la fonction G ? (ensembles de définition, d'arrivée, et expression)
Qu'est-ce que la fonction F°G ? (ensembles de définition, d'arrivée, et expression)
Est-ce que tu peux dériver F°G ?
Que vaut (F°G)' (ou plutôt d(F°G)/dt) au point t=2 ?

Ensuite, tu peux vouloir comparer avec ce que dit le théorème :

Qu'est-ce que la fonction dF/dx ?
Qu'est-ce que la fonction dF/dy ?
Qu'est-ce que la fonction dF/dx ° G ? Sa valeur en t=2 ?
Qu'est-ce que la fonction dF/dy ° G ? Sa valeur en t=2 ?
Qu'est-ce que la fonction dX / dt ? Sa valeur en t=2 ?
Qu'est-ce que la fonction dY / dt ? Sa valeur en t=2 ?

Est-ce que (dF/dx ° G)(t=2) * (dX/dt)(t=2) + (dF/dy ° G)(t=2) * (dY/dt)(t=2) = (d(F°G)/dt)(t=2) ?

[Jo757]

Qu'est-ce que la fonction G ? (ensembles de définition, d'arrivée, et expression)

G(t)=(x(t);y(t)) , R -> R² , arc parametré, C1 sur R .

Qu'est-ce que la fonction F°G ? (ensembles de définition, d'arrivée, et expression)
Est-ce que tu peux dériver F°G ?

F:R-> R² , C1 sur R
Donc f°g est c1 sur R , pr tout t.
f°g=f(4t²+2;3T)=5(4t²+2)+3(3t)=20t²+9t+10

Que vaut (F°G)' (ou plutôt d(F°G)/dt) au point t=2 ?

Du coup (F°G)'=40t+9 , et (F°G)'(t=2)=89

Qu'est-ce que la fonction dF/dx

dF/dx=4

Qu'est-ce que la fonction dF/dy

dF/dy=5

C'est les 2 suivantes qui me posent vraiment problème en fait.. surtout qu'il n'y a plus de variable !
Je les redéfini pour pouvoir continuer : df/dx=4xy et df/dy=5xy . Logiquement je dois substituer x et y respectivement par l'expression de x(t) et y(t) , mais est ce que je dois remplacer les 2 dans chaque expression ou seulement x par x(t) dans df/dx (sans toucher au y donc) et y(t) dans df/dy (sans toucher au x ce coup ci donc) ?

Qu'est-ce que la fonction dF/dx ° G ? Sa valeur en t=2 ?

Qu'est-ce que la fonction dF/dy ° G ? Sa valeur en t=2 ?

Qu'est-ce que la fonction dx / dt ? Sa valeur en t=2 ?

dx / dt = 8t

Qu'est-ce que la fonction dy / dt ? Sa valeur en t=2 ?

dy / dt= 3

Est-ce que (dF/dx ° G)(t=2) * (dx/dt)(t=2) + (dF/dy ° G)(t=2) * (dy/dt)(t=2) = (d(F°G)/dt)(t=2) ?

J'la garde pour après.

[Doraki]

Tout le début est bon. (en particulier tu as su calculer d(F°G)/dt sans utiliser le théorème)

Quand F est une fonction C1 de deux variables réelles x et y à valeurs dans R,
F : (x:R) * (y:R) -> R
c'est quoi l'ensemble de définition de dF/dx ? (c'est une fonction de quelles variables ?)

[Jo757]

Df/dx : R -> R . avec x pour variable.
donc du coup, y n'est pas une variable ici.
Donc si je reprends ca :
df/dx=4xy et df/dy=5xy

Df/dx ° G== 4(4t²+2)y (Df/dx ° G)(t=2)=66y

et

df/dy ° G=5x3t (df/dy ° G)(t=2)=30x

Si c'est bien ca , j'ai compris ce qui n'allais pas !


Pour le domaine de définition de F ok je vois mon erreur.

[Doraki]

Si F est une fonction de 2 variables x et y, normalement, on a du te donner la définition de DF/dx en un point (x=x0,y=y0) comme étant la limite quand x tend vers x0 de (F(x,y0)-F(x0,y0)) / (x-x0).

dF/dx est une fonction, qui à un "point" (x0,y0) associe le nombre qui est la limite de ce machin.

dF/dx tout seul, ce n'est pas un nombre.
dF/dx évalué en (x=1,y=2), ça tu sais ce que c'est et c'est un nombre que tu peux le calculer.

dF/dx est une fonction de 2 variables, et dans notre cas particulier, dF/dx est une fonction constante qui vaut 5 partout.

dF/dx évalué en (x=X(2), y=Y(2)), bah ça fait 5.

[Jo757]

Non c'est toujours n'importe quoi.
(surtout transformer dF/dx = 4 en dF/dx = 4xy).

J'ai juste voulu prendre un autre exemple en fait pour en avoir un ou les 2 variables apparaisse dans les dérivés partiels, pour que je comprenne ce qu'il se passe.. Je l'ai pas transformer.. Excuse moi de m'etre mal exprimé.
Le reste j'y reflechis..

[Jo757]

Bon donc ok , a partir du moment ou c'est clair que df/dx est une fonction de 2 variable, si je prend comme fonction :

F(x,y)=3x²y+3x+2y
et g(a(t),y(t)) défini par a(t)=5t et y(t)=2t

Alors , (df/dx ° G)(t)= 6(5t)(2t)+3
et donc (df/dx ° G)(t=2)= 6*(5*2)*(2*2) +3 = 183.

[Doraki]

Oui.
Et quand F(x,y) = 5x+3y ; G(t) = (4t²+2, 3t) ?

Parceque bon j'aimerais quand même que tu termines de vérifier que le théorème ne dit pas n'importe quoi dans l'exemple que tu voulais faire au début, et que les deux calculs donnent bien la même chose.

[Jo757]

Et quand F(x,y) = 5x+3y ; G(t) = (4t²+2, 3t) ?

Est-ce que (dF/dx ° G)(t=2) * (dx/dt)(t=2) + (dF/dy ° G)(t=2) * (dy/dt)(t=2) = (d(F°G)/dt)(t=2) ?

Alors on a (df/dx ° G )(t=2)=5 (dF/dy ° G)(t=2)=3

Donc
(dF/dx ° G)(t=2) * (dx/dt)(t=2) + (dF/dy ° G)(t=2) * (dy/dt)(t=2) = 5 * 8* 2 + 3 *3 =89=(d(F°G)/dt)(t=2)
Donc ca marche .
Merci de ton aide et de ta patience. Mon exemple de départ etait vraiment mal choisi :p