Courbe dans l'espace

[Aispor]

Bonjour, j'ai du mal avec cet exercice.



Je n'arrive pas à montrer que

Merci d'avance:)

[GaBuZoMeu]

Tu voulais écrire ?

Au fait, je ne vois pas de courbe dans l'espace, mais une surface.

Sinon, tu peux porter dans l'équation de cette surface.

[Aispor]

Salut,
Oui c'est bien cette inclusion que je cherche à montrer.

En effet c'est une surface pardon ^^

Oui, mais pour trouver u en fonction de (x,y,z) j'ai du mal
J'ai tenté l'équation vérifier par (x,y,z)

En remplaçant x,y et z par les fonctions de u et de v.

Mais n'y apparaît pas. (Il se simplifie)

[Yezu]

Salut,

Pour tout , tu as :






On a donc bien ,

[aviateur]

Bonjour
@Yezu c'est l'inclusion inverse qu'il veut démontrer. C'est à dire que pour tout (x,y,z) appartenant à S il existe t.q

@aispor Pour résoudre ton problème tu considères un élément quelconque C'est à dire que
Nécessairement on a z=2v-1 et donc
Posons . L'égalité précédente signifie que les vecteurs (x,y) et w ont même norme.
Il existe donc une rotation d'angle u, de matrice notée R(u) tel que
Cette dernière identité s'écrit aussi x=x(u,v), y=y(u,v) (où ici j'ai repris les notations de Yezu)
Ceci répond à ta question et avec le travail deYezu ça répond à toute la question.

[Yezu]

Bonsoir,

Merci de ta correction aviateur !

[Aispor]

Merci à vous !

[aviateur]

Bonjour
Pour les anonymes qui s'intéressent à ce genre d'exo: le nom de cette surface est hyperboloïde de révolution à une nappe. Sur Wikipédia on peut trouver une figure. (passer en coordonnées cylindrique pour comprendre le terme hyperboloïde.)

[GaBuZoMeu]

Voir que la surface est réglée et trouver les deux familles de droites sur cette surface se fait facilement en réécrivant l'équation comme

On voit alors sur la surface la famille des droites

et l'autre famille de droites

où parcourt ).

Une autre remarque : la paramétrisation choisie est-elle faite pour compliquer l'exercice ? Une paramétrisation plus naturelle est donnée par