Courbe dans l'espace

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Aispor
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Courbe dans l'espace

par Aispor » 17 Mai 2019, 19:24

Bonjour, j'ai du mal avec cet exercice.

Image

Je n'arrive pas à montrer que

Merci d'avance:)



GaBuZoMeu
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Re: Courbe dans l'espace

par GaBuZoMeu » 17 Mai 2019, 19:29

Tu voulais écrire ?

Au fait, je ne vois pas de courbe dans l'espace, mais une surface.

Sinon, tu peux porter dans l'équation de cette surface.

Aispor
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Re: Courbe dans l'espace

par Aispor » 18 Mai 2019, 00:44

Salut,
Oui c'est bien cette inclusion que je cherche à montrer.

En effet c'est une surface pardon ^^

Oui, mais pour trouver u en fonction de (x,y,z) j'ai du mal :/
J'ai tenté l'équation vérifier par (x,y,z)

En remplaçant x,y et z par les fonctions de u et de v.

Mais n'y apparaît pas. (Il se simplifie)

Yezu
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Re: Courbe dans l'espace

par Yezu » 18 Mai 2019, 02:57

Salut,

Pour tout , tu as :






On a donc bien ,

aviateur
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Re: Courbe dans l'espace

par aviateur » 18 Mai 2019, 09:14

Bonjour
@Yezu c'est l'inclusion inverse qu'il veut démontrer. C'est à dire que pour tout (x,y,z) appartenant à S il existe t.q

@aispor Pour résoudre ton problème tu considères un élément quelconque C'est à dire que
Nécessairement on a z=2v-1 et donc
Posons . L'égalité précédente signifie que les vecteurs (x,y) et w ont même norme.
Il existe donc une rotation d'angle u, de matrice notée R(u) tel que
Cette dernière identité s'écrit aussi x=x(u,v), y=y(u,v) (où ici j'ai repris les notations de Yezu)
Ceci répond à ta question et avec le travail deYezu ça répond à toute la question.

Yezu
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Re: Courbe dans l'espace

par Yezu » 18 Mai 2019, 14:42

Bonsoir,

Merci de ta correction aviateur !

Aispor
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Re: Courbe dans l'espace

par Aispor » 18 Mai 2019, 16:57

Merci à vous ! :)

aviateur
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Re: Courbe dans l'espace

par aviateur » 18 Mai 2019, 18:55

Bonjour
Pour les anonymes qui s'intéressent à ce genre d'exo: le nom de cette surface est hyperboloïde de révolution à une nappe. Sur Wikipédia on peut trouver une figure. (passer en coordonnées cylindrique pour comprendre le terme hyperboloïde.)

GaBuZoMeu
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Re: Courbe dans l'espace

par GaBuZoMeu » 18 Mai 2019, 22:25

Voir que la surface est réglée et trouver les deux familles de droites sur cette surface se fait facilement en réécrivant l'équation comme

On voit alors sur la surface la famille des droites

et l'autre famille de droites

parcourt ).

Une autre remarque : la paramétrisation choisie est-elle faite pour compliquer l'exercice ? Une paramétrisation plus naturelle est donnée par

 

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