Courbe de l'espace

[MacManus]

Bonjour

L'exercice suivant me pose problème :

Soit une courbe géométrique birégulière C de , on suppose que

[I]a) sa courbure est constante
b) en chaque point, sa normale principale est orthogonale à un vecteur constant non nul u.

1. Montrer qu'après paramétrage par longueur d'arc ,
il existe 2 constantes a et b telles que = as+b .
( désigne le produit sclaire)

2. Montrer que la projection orthogonale de C sur le plan vectoriel orthogonal à u est une courbe plane à courbure constante.

3. En déduire la nature de C.[/I]

Je pense pouvoir dire que :
D'après a)
D'après b)
La courbe est par longueur d'arc si
Est-ce que la courbe est plane ssi la torsion est nulle ??
Cependant je ne sais pas comment utiliser ces informations pour faire l'exercice.
Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci beaucoup

[MacManus]

Bonsoir

Quelqu'un peut-il m'aider ?... je ne sais pas comment démarrer
Merci à vous.

[Sa Majesté]

Cela fait bien longtemps que je n'ai pas fait ce genre de chose !!
Pour le 1), dérive 2 fois < M(s),u > par rapport à l'abscisse curviligne s

[MacManus]

Merci à sa Majesté.

Si j'ai bien compris votre indication, j'obtiens, en dérivant 1 fois ce produit scalaire que :
' = + = (car u' = 0 puisque u est constant).
En dérivant une 2ème fois, j'obtiens :
'' = + =

Donc : '' =

or on sait que la courbe est birégulière, cad : M''(s) 0
de plus u est constant et non nul.

Est-ce une condition pour dire qu'il existe 2 constantes a et b telles que :
= as+b ???

Donc, en dérivant 2 fois , on obtient un résultat non nul.
Mais en dérivant 2 fois as+b par rapport à s, on a un résutat nul.
Je ne comprends pas bien...



Merci à vous

[Sa Majesté]

Donc : '' =

or on sait que la courbe est birégulière, cad : M''(s) 0
de plus u est constant et non nul.

Je suis d'accord

Est-ce une condition pour dire qu'il existe 2 constantes a et b telles que :
= as+b ???

Donc, en dérivant 2 fois , on obtient un résultat non nul.

Si mes souvenirs sont exacts M''(s) est normal à la courbe (un peu à la manière d'une accélération)
Je ne me souviens plus très bien ce qu'est une normale principale mais avec un peu de chance tu devrais trouver dans ton cours que M''(s) est un vecteur directeur de la normale principale
Du coup d'après le (b) "en chaque point, sa normale principale est orthogonale à un vecteur constant non nul u" on aurait = 0, ce qui montre que M''(s) est de la forme as+b

[MacManus]

Du coup d'après le (b) "en chaque point, sa normale principale est orthogonale à un vecteur constant non nul u" on aurait = 0, ce qui montre que M''(s) est de la forme as+b

= = = K = 0 (en utilisant les notations de Frenet et où K est la courbure, n la normale principale) implique que M''(s) = 0 (puisque u est non nul).
Donc on pourrait dire que M(s) = as+b, mais cela semble étrange si l'on souhaite montrer que = as+b (ce qui n'est pas la même chose je vous l'accorde). J'ai peut-être l'air de pinailler un peu, mais je ne saisis pas tout (en l'occurence : M''(s) = as+b)... sinon d'une manière générale je comprends vos explications!

Merci encore

[Sa Majesté]

Tu ne pinailles pas, je me suis trompé
< M(s),u > '' = < M''(s),u > = 0 donc < M(s),u > est de la forme as+b

[MacManus]

Merci à vous pour votre réponse et d'avoir confirmé.

2. Montrer que la projection orthogonale de C sur le plan vectoriel orthogonal à u est une courbe plane à courbure constante.

D'après mon cours, je sais qu'une courbe de R^3 est plane ssi la torsion est nulle. Ma question serait alors la suivante : comment utiliser le résultat de la question 1. pour répondre à cette 2ème question.

Si vous avez une indication, elle serait la bienvenue
Merci beaucoup !