Contrôle d'une courbe par son rayon de courbure

[rdm]

Bonjour,

Je souhaite contrôler le tracer d'une courbe en coordonnées cartésiennes à partir de son rayon de courbure définit:


Je connait des points intermédiaires du parcours que je veux suivre et qui pourront me servir de conditions limites.
Le profil que je souhaite tracer possède un (ou plusieurs) points d'inflexion (type d'une marche arrondie).
Avez-vous des astuces ou des infos sur la méthode à employer, je ne trouve pas de biblio sur ce sujet ?

Ma problématique initiale étant que je préfère garder la main mise sur la courbure plutôt que d'utiliser des fonctions de lissage un peu opaque (j'utilise matlab).

Merci.

ps: je pense qu'une méthode intégrale pourrait fonctionner (mais j'ai pas plus d'infos sur la manière)

[Ben314]

Salut,
A mon opinion (donc ça vaut ce que ça vaut), lorsqu'on s’intéresse à la courbure d'une courbe, surtout dans le contexte qui t’intéresse ici (i.e dans le sens courbure -> courbe), de se limiter aux courbes définies par une équation de la forme n'est pas du tout du tout malin.
Rien que le cas courbure=Constante, ça donne un gentil cercle, dont on a des tas de paramétrisations simples, mais qui, écrit en terme de donne des truc non seulement pas beau du tout et quasi sans intérêt calculatoirement parlant, mais en plus, ça ne permet même pas de paramétrer le cercle complet.

Bref, LE bon point de vue dans ce contexte, c'est clairement les courbes paramétrées t->(x(t),y(t)) et là tu as un théorème on ne peut plus intuitif qui te dit qu'étant donné une fonction s->c(s) continue, il existe un unique (à isométrie affine près bien sûr) arc paramétré par longueur d'arc s->gamma(s) dont la courbure est s->c(s). Et en fait ça résulte simplement du théorème de Cauchy-Lipschitz vu que ce n'est rien d'autre qu'une équation différentielle( vectorielle) à résoudre.

Attention aussi au fait que le truc "bien utilisable" au niveau mathématique, c'est plutôt la courbure que le rayon de courbure et que si on veut que ça définisse une unique courbe, il ne faut bien sûr pas le prendre en valeur absolue (sinon tu ne sait pas de quel coté ça tourne)

[rdm]

Très bien au sujet de la pertinence d'utiliser une courbe paramétrée pour l'extension à des cas plus évolués.
Pour aller dans le sens de la solution intégrale, est-ce qu'il existe une relation (plus ou moins compliquée) qui permettrait d'intégrer sur le contour en fonction de l'abscisse curviligne par exemple ? Dans mon cas je suis déjà revenu sur un contour 1D, monotone, équi-reparti (tout ce qu'il y a de plus favorable).

J'imagine qu'on peut remonter à une relation discrète où y(so+h) = y(so) + f(h,courbure).

Au début je pensais à une méthode itérative en initialisant avec une dérivée première et seconde et les valeurs de courbure souhaitée.
Mais une fois que j'ai y', y'' et \rho en so, comment je passe simplement (et possiblement avec des ordres assez élevés pour une bonne précision) à y(so+h) ?
Et pour la suite, implémenter à cette méthode le passage par des points intermédiaires.

[Ben314]

Si est une paramétrisation par longueur d'arc alors donc il existe telle que pour tout . On a donc et comme est une base orthonormée directe, c'est que la courbure en , c'est .
Donc si tu connaît la courbure le truc à résoudre (éventuellement numériquement), c'est :

Avec bien sûr connu (position et direction initiales connues)
Donc si tu utilise une méthode numérique simple "à un pas", ça va te donner un truc du style :

[rdm]

Super.
Je sens que c'est la solution qu'il me faut mais je pèche à l'appliquer.

Comment se ramener facilement à une paramétrisation normale ? Dans mon cas j'ai exprimé mon contour sous forme polynomiale.
x(t) = t
y(t) = \sum_{k=0}^n a_{k} t^{k}
Je cherche un changement de variable pour avoir:

[Ben314]

Ben ce type de truc, dans la théorie, c'est les doigts dans le nez vu que l'application est strictement croissante donc bijective de [t_o,?] sur [0,?] et il "suffit" de prendre pour avoir une paramétrisation par longueur d'arc.
Sauf que dans la pratique, c'est très rarement explicite vu que même avec une "gentille" fonction il y a une racine dans l'intégrale à calculer : rien que la longueur d'un arc de parabole donc avec , ben c'est pas une intégrale évidente à calculer.

Bon, mais après, d'un autre coté, j'ai pas bien compris ce que tu cherchais à faire avec tes "points intermédiaires du parcours"...

[rdm]

Mon parcours nominal je l'obtient en récupérant une trajectoire d'un calcul CFD. Mon but c'est de reproduire au plus proche expérimentalement les mêmes conditions que le calcul numérique (avec un rapport d'échelle).

La trajectoire que je récupère est un peu brisée à cause d'effets d'interpolation donc je cherche à la lisser plus rigoureusement qu'à la main.
Pour la lisser, je souhaite contrôler sa courbure par morceaux tout en m'assurant que je ne m'écarte pas trop de la trajectoire initiale (moyennant un intervalle de tolérance que je me fixe).
Ainsi les zones moins propres issues de l'interpolation, je pourrais les remplacer par des zones de courbure contrôlée.

Le lien pointe vers une petite capture d'écran.
http://www.casimages.com/i/180410044153959868.png.html
Ma trajectoire en bleu, ma courbure initiale en noire et celle que j'ai déjà lissée en rouge (réinterpolation plus fine et fonctions de lissage). Je cherche à aller plus loin et avoir le contrôle de cette évolution plutôt que de m'en remettre à des fonctions de lissage opaques.

[Ben314]

Je comprend pas trop ce que c'est tes deux première courbe en bleu puis en noir, principalement le lien qu'il y a entre les deux.
- Ta "trajectoire" en bleu -> la trajectoire de quoi ?
- Ta "courbure initiale" en noire -> la courbure de quoi ? de la courbe bleue ?

En rouge, sauf erreur, c'est une approximation de la noire, c'est ça ?

[rdm]

Le contour que j'étudie correspond à une ligne de courant issue d'une simulation numérique.

En bleu c'est les données extraites du calcul.
En noir c'est la valeur absolue du rayon de courbure calculé en coordonnées cartésiennes. En rouge la valeur absolue du rayon de courbure d'une trajectoire "lissée" manuellement (en agissant sur les coordonnées (x,y) ).

J'aimerais pouvoir forcer des valeurs du rayon de courbure (ou de la courbure) dans les zones ou j'ai une successions d'inflexions et recalculer les coordonnées des points à ces endroits en veillant à ce qu'ils restent dans l'intervalle de tolérance autour de ma trajectoire de base.
Une méthode de tir sur la trajectoire en ajustant la courbure.
Je pense qu'en fait l'un ne détermine pas l'autre parce qu'en fixant la courbure, je fixe la valeur d'une relation entre la dérivée première et seconde. Il faudrait donc fixer la courbure et une dérivée pour pouvoir intégrer et remonter jusqu'à la trajectoire.

En tout cas merci pour ton temps et tes réponses.

[Ben314]

Bon, ben j'ai toujours pas compris...
En bleu, visiblement, y'a rien à dire : c'est des données "brutes" issues de l'expérience.
Mais en noir, tu as toujours pas répondu à la question : c'est le rayon de courbure de quoi ?

Parce que si c'est sensé être celui de la courbe bleu, moi il me semble bien que, à vu de nez, la façon dont tu as calculé la courbure partant de tes données expérimentales est pas bonne (ça donne l'impression que tu as tenu compte de trop peu de points successifs pour calculer la courbure et que vu l'incertitude de tes mesures, ben ça donne à peu prés n'importe quoi...)

[mathelot]

@rdm: est ce que tu connais les courbes de Bézier ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier

[rdm]

Je ne connaissais pas mais ça semble bien adapté à ma problématique.
Je teste ça.
Merci!

[rdm]

Ça marche bien mais il me reste encore un point à régler.
Je travaille par morceaux et je veux un profil final dont la courbure est C1.
Cela signifie bien que ma courbe doit être C3 ?
En terme de courbe de Bezier ça se traduit aux raccords par:
[pi-3 pi] = [pi pi+3]
[pi-2 pi] = [pi pi+2]
[pi-1 pi] = [pi pi+1]

J'arrive bien à implémenter la condition sur 5 points pour avoir une courbe C2, mais ça capote quand je passe sur 7 points.

Ma traduction de la condition pour la courbe C3 est-elle bonne ?