Rayon de courbure au péricentre (périastre) d'une ellipse

[Tilu]

Pour un corps au périastre de son orbite elliptique, on me donne l'expression du rayon de courbure Rc:
Rc = Rp (1 + e), où Rp est le rayon périastre et e l'excentricité.
Mon problème: Je fais un bloquage sur le rayon de courbure car je n'arrive pas à "voir" ce que ce paramètre représente.

J'essaye d'expliquer ce qui me gêne. Pour un point au périastre, on a déjà:
- Le demi grand axe a, qui est par rapport au centre O de l'ellipse.
- Le rayon périastre Rp, qui est par rapport au foyer F de l'ellipse.
- La distance foyer-centre égale à e.a.
On a aussi de nombreux autres grandeurs, comme p le paramètre p de l'ellipse, etc...
Je n'arrive pas à voir à quoi "correspond", ou ce que "représente" ce rayon de courbure, qui semble être un rayon par rapport au foyer F, plus grand que le rayon périastre (augmenté du terme e.Rp).

Je suis désolée si c'est stupide , mais est-ce-que quelqu'un pourrait SVP trouver les mots pour débloquer mon cerveau et m'aider à "voir" ce qu'est Rc?

Merci par avance.

[Pseuda]

Bonjour,

Pourrais-tu déjà expliquer ce qu'est le rayon périastre (jamais entendu parler) d'une ellipse ? Sa formule ?

[chan79]

Bonjour,

Pourrais-tu déjà expliquer ce qu'est le rayon périastre (jamais entendu parler) d'une ellipse ? Sa formule ?

Peut-être la distance de l'astre à son soleil (l'un des foyers) ?

[zygomatique]

il est à la périhélie de l'astre ... c'est lumineux comme tout ...

[Pseuda]

Bonjour,

Pourrais-tu déjà expliquer ce qu'est le rayon périastre (jamais entendu parler) d'une ellipse ? Sa formule ?

Peut-être la distance de l'astre à son soleil (l'un des foyers) ?

Ce serait le(s) point(s) de distance minimale à l'un des foyers : https://fr.wiktionary.org/wiki/p%C3%A9riastre
Ou bien la distance elle-même.

[Ben314]

Salut,
Le rayon de courbure, à expliquer "avec les mains" (i.e. sans rentrer trop dans la théorie), c'est relativement simple :
- La tangente, c'est la DROITE qui approxime au mieux la courbe au voisinage d'un point : si on fait un "zoom" autour du point la courbe est "presque égale" à la tangente. Et on peut (mathématiquement parlant) préciser ce que signifie ce "presque" : la tangente, c'est au fond les deux premiers termes du développement de Taylors.
- Ensuite, si on veut approximer "mieux" la courbe que par une simple droite, au niveau "calculs pur et dur" pour les fonctions de R->R, le truc qui vient naturellement à l'esprit, c'est de prendre un terme de plus dans le développement de Taylors, c'est à dire d'approximer par une parabole (dépendant de f(xo), de f'(xo) et de f''(xo)).
Mais si on veut rester dans un "vrai cadre géométrique", c'est à dire sans avoir de repère, il semble plus naturel d'approximer la courbe non pas par une parabole, mais par un cercle donc on cherche le cercle qui, au voisinage du point qui nous intéresse, est le plus proche de la courbe. Ce cercle est évidement tangent en Mo à la tangente et sont centre est donc situé sur la perpendiculaire en Mo à la tangente. Par contre le rayon qu'il faut prendre pour que le cercle soit "le plus proche possible" de la courbe est pas facile à visualiser, mais si tu fait des test avec par exemple Géogébra, il apparait clairement qu'avec certains rayons, ça approxime "bien mieux" qu'avec d'autres. Et évidement, le "rayon de courbure", c'est le rayon qu'il faut prendre pour que ça approxime au mieux.

Autre point de vue encore plus "terre à terre" : si en voiture tu parcours un circuit en forme d'ellipse, alors tu est obligé de tourner (légèrement) le volant en permanence (avec le volant "bloqué" c'est un cercle que tu parcours) et le "rayon de courbure" à un moment donné, c'est le rayon du cercle que tu parcourrais avec ta voiture si tu gardait indéfiniment la position actuelle que tu as avec le volant.

[pascal16]

en mécanique, sur une trajectoire paramétrée, c'est lié au cercle instantané de rotation qui permet de faire les calculs d'inertie.

[Tilu]

Merci à tous. Ca m'a vraiment aidé. Et ça explique aussi logiquement sa formule en fonction de la distance du périastre au foyer et de l'excentricité.

Pour un corps sur une orbite elliptique autour d'un astre situé à l'un des foyers de cette ellipse, le périastre et l'apoastre sont les deux positions telles que:
- Périastre: Position la plus proche du foyer. La distance du périastre au foyer est généralement notée r_p (rayon périastre).
- Apoastre: Position la plus éloignée du foyer, avec la distance au foyer notée r_a (rayon apoastre).

Ces deux positions ont un nombre pas possible de différentes appellations, comme ces deux exemples:
- Soleil: Péri/apo-phélie.
- Jupiter: Péri/apo-jove.

Plus général: Péri/apo-apside ou pareil avec -apse.

J'en ai même encore découvert une hier dans un exercice, qui je trouve prête à confusion: péricentre! Alors qu'il n'y a rien de central la dedans vu que les définitions sont par rapport au foyer...

Enfin bref, au final, péri-X et apo-X, avec X qui peut être remplacé par un grand nombre de termes.

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