Continuité dans les espaces normées

[NicoTial]

Bonjour,

Alors cet exercice me pose quelques problèmes, pourriez vous m'aider ?

Soit E et F deux espaces vectoriels normés,
On note Iso(E, F) et Iso (F, E) l'ensemble des applications linéaire bijective de E ver F et respectivement F de E.
On munit ces espaces de la norme triple :
Montrer que j définie de Iso(E, F) vers Iso (F, E) par est continue.

[aviateur]

Bonjour
Soyons pragmatique:
Pour commencer peux-tu écrire la définition de la continuité de la fonction j?
Ensuite on verra.

[NicoTial]

La voilà :

[aviateur]

Rebonjour @Nicotial
D'accord donc je regarde et je te réponds dès que possible

[aviateur]

Rebonjour
Tout d'abord on fera attention que l'on utilise la même notation pour les normes dans E et F et aussi
pour les normes des applications. C'est un abus toléré dans la mesure où l'on sait à chaque fois de quelle norme il s'agit.
Ensuite on remarquera que par définition on a pour tout x ds E :

L'idée essentielle de la démo c'est d'utiliser l'identité facile à vérifier (il suffit de développer pour le voir ):



On a donc pour tout y dans F



Donc avec choisi tel que | on a pour tout x
(si )

c.q.f.d

[NicoTial]

Merci beaucoup !