Dans un exercice on demande à montrer que pour les endomorphismes de rang 1 dans un ev de dimension n, un condition nécessaire et suffisante de pour que u sont non diagonalisable est que
Pour la première la première inclusion qui est
Pour la deuxième je vous demande de vérifier s'il vous plaît si mon raisonnement est correct:
Si on suppose que u est non diagonalisable, puisque rg(u)=1 alors l'ordre de multiplicité de 0 en tant que valeur propre est d'au moins n-1. S'il est égale exactement à n-1 alors nécessairement u admet admet une autre valeur propre et ainsi u sera diagonalisable ce qui contredit les hypothèses. Ainsi 0 est valeur propre d'ordre n. De plus si on a une base adaptée à la décomposition de E en tant que la somme du noyau de u et d'un supplémentaire de celui-ci, on aura une matrice A dans cette avec n-1 colonnes nulles. La dernière colonne,son dernier terme est aussi nulle puisque cette matrice est triangulaire supérieure.
On montre alors facilement que A²=0 donc u²=0 et donc
Est ce que c'est correct ??
par