Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

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Yezu
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Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

par Yezu » 23 Mar 2018, 05:20

Salut à tous,

Proche des examens, un exercice trouvé dans mon livre me pose quelques interrogations.

L'énoncé me demande de prouver qu'une condition suffisante pour qu'une fonction ne soit pas différentiable au point (0,0) est la non-existence de dérivées directionnelles pour au moins une direction en ce point.
Les hypothèses sur la fonction sont les suivantes :
elle vaut 0 en (0,0)
les dérivées partielles vallent 0 en (0,0)

Voici mon raisonnement :

f différentiable en (0,0) =>
f(0+Delta x, 0+Delta y) = f(0,0) + f_x Delta x + f_y Delta y + Epsilon 1* Delta x + Epsilon 2* Delta y
Epsilon 1 et Epsilon 2 etant des fonctions tendant vers 0 lorsque le couple (Delta x, Delta y) --> (0,0)

Comme f(0,0) = f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0.
Ça revient à :
f(Delta x, Delta y) = Epsilon 1* Delta x + Epsilon 2* Delta y.

On se place dans le cadre où Delta x = a * Alpha et Delta y = a * Beta, réels
On a alors :
f(a * Alpha , a * Beta) = a*(Alpha*Epsilon 1 + Beta*Epsilon 2)
On divise par a :
f(a*Alpha , a*Beta) / a = Alpha*Epsilon 1 + Beta*Epsilon 2
En prenant la limite pour a tendant vers 0, le membre de droite tend vers 0.

Considérons désormais un vecteur de composantes (Alpha, Beta).
La dérivée directionnelle de f selon ce vecteur en (0,0) est la limite pour a tendant vers 0 de :

f(a*Alpha, a*Beta) / a

Si pour un vecteur de composantes (Alpha, Beta) cette limite n'existe pas, on en deduit que la fonction n'est pas différentiable.

Qu'en pensez vous ?



pascal16
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Re: Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

par pascal16 » 23 Mar 2018, 10:42

Wello, pense à dormir un peu quand même
j'ai arrêté les maths à haut niveau il y a un peu trop longtemps, mais je suis content d'avoir dit un truc dans ton autre post sur une notion "dans toutes les directions" qui finalement était un beau reste :

| Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y| => doit tendre vers 0 selon toutes les directions pour que le plan soit réellement tangent (c'est qu'il me semble que ta définition a un trou, il faut une majoration de l'erreur dans toutes les directions, pas seulement selon 2 directions, les pros t'en diront plus)


pour moi ta démo est bonne.

Au passage, le 'dans toutes les directions' dit aussi qui si selon des couples de vecteurs différents le plan tangent est différent, la fonction n'est pas différentiable.

Yezu
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Re: Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

par Yezu » 23 Mar 2018, 10:56

Ahah Pascal, je suis habitué à dormir très peu en révision ^^

Effectivement, tes dires sur mon ancien post étaient bel et bien très justes !

Merci encore (:

pascal16
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Re: Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

par pascal16 » 23 Mar 2018, 11:00

Considérons désormais un vecteur de composantes (Alpha, Beta), avec (Alpha, Beta)=/= (0,0) pour pas avoir un vecteur nul.

Yezu
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Re: Condition suffisante de non-différentiabilité (L1)

par Yezu » 23 Mar 2018, 11:11

Bien évidemment, j'aurais du le préciser !

 

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