[Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoniques

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JaiUneQuestion
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[Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoniques

par JaiUneQuestion » 02 Juin 2016, 14:13

Bonjour !

Question à propos des espaces vectoriels.
Parfois, il faut compléter une famille en une base de R^n.

Exemple :

Compléter B en une base de

Pour cela, il faut rajouter deux vecteurs de la base canonique. Dans mon corrigé, ils choisissent et .

Comment choisis-ton quels vecteurs canoniques utiliser (1,2,3,4) ?

Merci :)



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capitaine nuggets
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Re: [Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoni

par capitaine nuggets » 02 Juin 2016, 14:35

Salut !

En fait, c'est pas qu'il "faut rajouter des vecteurs de la bases canonique", il faut rajouter des vecteurs de telle manière qu'à la fin, on ait une base. Donc quitte à en rajouter, on peut penser à ceux de la base canonique mais ce n'est pas obligé.

JaiUneQuestion a écrit:Comment choisis-ton quels vecteurs canoniques utiliser (1,2,3,4) ?


Ta question n'a aucun sens, merci de la reformuler ;)
- Merci de lire attentivement le règlement du forum.
- Comment écrire de belles formules mathématiques.
- Comment joindre une image ou un scan.



Doraki
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Re: [Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoni

par Doraki » 02 Juin 2016, 15:04

Tu rajoutes n'importe quel vecteur qui n'est pas dans le sous-espace vectoriel engendré par la famille libre initiale, et tu recommences jusqu'à ce que tu puisses plus.

JaiUneQuestion
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Re: [Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoni

par JaiUneQuestion » 02 Juin 2016, 15:23

@captain nuggets: Oui, je suis bien. Je me suis mal exprimé. ;)

Doraki a écrit:Tu rajoutes n'importe quel vecteur qui n'est pas dans le sous-espace vectoriel engendré par la famille libre initiale, et tu recommences jusqu'à ce que tu puisses plus.


Merci !

aymanemaysae
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Re: [Espaces vectoriels] Compléter une base, vecteurs canoni

par aymanemaysae » 02 Juin 2016, 18:19

Pour le plaisir, et comme la discussion sur ce fil est close, j'essaierai de donner une généralisation des solutions de l'exercice proposé.

Notons , , et , avec a,b,c,d,e,f,g, et des nombres réels .

Comme la dimension de est égale à 4 , donc est une base de ,

On a = = (d + b - a) (g + f - e) - (c + b - a) (h + f - e),

donc on peut avoir autant qu'on veut de vecteurs pour compléter la base , il suffit seulement d'avoir

(d + b - a) (g + f - e) - (c + b - a) (h + f - e) 0 : la solution que l'initiateur du fil a donnée

est valable pour a = 1 , b = 0 , c = 0 , d = 0 , e = 0 , f = 0 , g = 1 et h = 0 .

 

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