Propriété universelle des espaces vectoriels munis de base

[Bizarre]

Bonjour,

Je coince sur la démonstration de ce qui est appelé dans le livre de M. Escofier "la propriété universelle des espaces vectoriels munis de base", que vous trouverez ici, en haut de la page 118 :

https://books.google.fr/books?id=QiDIaNo_53wC&pg=PA117&lpg=PA117&dq=propri%C3%A9t%C3%A9+universelle+des+espaces+vectoriels+munis+d%27une+base&source=bl&ots=NAq4p9HpUf&sig=S8fR6QEXAqUdQgTg3UOdgE0I0gE&hl=fr&sa=X&ei=xZxAVb_TMsXmaKL6gKAB&ved=0CC0Q6AEwAg#v=onepage&q=propri%C3%A9t%C3%A9%20universelle%20des%20espaces%20vectoriels%20munis%20d'une%20base&f=false

=>il y a la proposition et juste derrière la démonstration.

Quand je lis la proposition, je me dis qu'il faut démontrer l'existence d'une telle application, ainsi que son unicité. Or ici, il est seulement dit qu'on a nécessairement l(u) = somme des xi*ui, i allant de 1 à n. (D'ailleurs, sont-ce les mêmes xi dans les 2 sommes?)

Je ne vois pas pourquoi, ni en quoi cela prouve l'existence d'une telle application. Le "nécessairement", je ne vois pas d'où il sort, mais je pense que ça explique l'unicité.

Pas de problème pour montrer que ladite application est linéaire.

Pour faire très court : comment montrer l'existence d'une telle application, et son unicité?

Merci!

[Monsieur23]

Aloha,

En gros, pour l'existence, considère la fonction l qu'il donne :
si u est un vecteur de coordonnées (x1, …, x_n) dans la base e, alors on définit l(u) comme la somme des xi ui.

Ça te définit bien une application, et il montre qu'elle est bien linéaire.

L'unicité est évidente : si deux applications linéaires vérifient ce que tu veux, alors elles coincident sur une base, et donc elles sont égales.

[Bizarre]

Aloha,

En gros, pour l'existence, considère la fonction l qu'il donne :
si u est un vecteur de coordonnées (x1, …, x_n) dans la base e, alors on définit l(u) comme la somme des xi ui.

Ça te définit bien une application, et il montre qu'elle est bien linéaire.

L'unicité est évidente : si deux applications linéaires vérifient ce que tu veux, alors elles coincident sur une base, et donc elles sont égales.

Merci Monsieur23. Ca suffit pour montrer l'existence, de définir ainsi l(u)? Ca me surprend, mais en fait y a pas de raison, une application c'est qu'un triplet formé de l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée, et la formule qu'on a imposée ici. Ok...

[zygomatique]

salut

en fait la phrase "on a nécessairement ..." dit simplement que, les images d'une base par une fonction f étant données, l'unique façon de définir f pour tout vecteur u pour que f soit linéaire est de poser

tu peux poser si tu veux où g est une fonction quelconque mais alors f n'est pas linéaire sauf si (projection sur

[Bizarre]

sur ce lien : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1_ch04/co/apprendre_ch4_07_02.html
je ne comprends pas l'argument suivant en gras : Soit cette application (cela en est bien une du fait de l'unicité des composantes d'un vecteur sur une base)

Peut-on me l'expliquer?

[Ben314]

Salut,
L'un des premier truc qu'on montre concernant une base B=(e1,...en), c'est l'unicité de la décomposition d'un vecteur quelconque comme combinaison linéaire dans la base en question.
Ce qui signifie qu'à un vecteur x quelconque, on peut associer un unique n-uplet (x1,x2,...,xn) tel que x=som(xi.ei) [n-uplet appelé "coordonnées de x dans la base B"] ce qui fait que le vecteur f(x)=som(xi.ai) est parfaitement déterminé et est unique.
Si c'était pas une base alors il n'y aurait pas unicité des xi pour tout vecteur x et donc la formule f(x)=som(xi.ai) ne voudrait rien dire (pour certains x il risquerait d'y avoir plusieurs n-uplet (x1,...,xn) donc plusieurs f(x) possibles et pour d'autres x il risquerait de n'y avoir aucun n-uplet (x1,...,xn) donc aucun f(x) possibles)

BILAN : pour être sûr que la définition f(x)=som(xi.ai) veuille dire quelque chose et ne soit pas une absurdité, il suffit que B soit une base.

[Bizarre]

Salut,
L'un des premier truc qu'on montre concernant une base B=(e1,...en), c'est l'unicité de la décomposition d'un vecteur quelconque comme combinaison linéaire dans la base en question.
Ce qui signifie qu'à un vecteur x quelconque, on peut associer un unique n-uplet (x1,x2,...,xn) tel que x=som(xi.ei) [n-uplet appelé "coordonnées de x dans la base B"] ce qui fait que le vecteur f(x)=som(xi.ai) est parfaitement déterminé et est unique.
Si c'était pas une base alors il n'y aurait pas unicité des xi pour tout vecteur x et donc la formule f(x)=som(xi.ai) ne voudrait rien dire (pour certains x il risquerait d'y avoir plusieurs n-uplet (x1,...,xn) donc plusieurs f(x) possibles et pour d'autres x il risquerait de n'y avoir aucun n-uplet (x1,...,xn) donc aucun f(x) possibles)

BILAN : pour être sûr que la définition f(x)=som(xi.ai) veuille dire quelque chose et ne soit pas une absurdité, il suffit que B soit une base.

Tu as bien cerné mon problème. Et justement, je pense que tu vas pouvoir m'aider : par exemple, si on a la famille de vecteurs (a1,a2,a3), qui n'est pas nécessairement une base et encore moins une famille libre, avec a2 = 2a3, et par exemple f(u) = 2a1+ a2, alors on peut aussi écrire f(u) = 2a1 + 2a3, et dans ce cas, il n'y a pas unicité des coefficients... Qu'est ce que je loupe?

[Ben314]

Tu as bien cerné mon problème. Et justement, je pense que tu vas pouvoir m'aider : par exemple, si on a la famille de vecteurs (a1,a2,a3), qui n'est pas nécessairement une base et encore moins une famille libre, avec a2 = 2a3, et par exemple f(u) = 2a1+ a2, alors on peut aussi écrire f(u) = 2a1 + 2a3, et dans ce cas, il n'y a pas unicité des coefficients... Qu'est ce que je loupe?

Ce que tu "loupe" comme tu dit, c'est que visiblement, tu n'a pas compris la différence entre la notion de "fonction" et celle, bien plus draconienne de "bijection" : si f est "juste" une fonction (et pas une bijection), il est parfaitement possible que deux éléments différents aient la même image donc, par exemple si a2=2a3, tu aura f(2e1+e2)=2a1+a2=2a1+2a3=f(2e1+2e3) avec 2e1+e2 différent de 2e1+2e3 et tout ce que ça montre, c'est que f n'est pas injective, mais surement pas que ce n'est pas une fonction.
En résumé, si un y de l'ensemble d'arrivé peut s'écrire de plusieurs façon comme combinaison linéaire des ai, ça prouve qu'il admet plusieurs antécédents (i.e. que f n'est pas injective) et ça n'a absolument rien à voir avec le fait qu'un x de l'ensemble de départ puisse avoir plusieurs images (i.e. que f n'est pas une fonction)

[Bizarre]

J'ai envie de me cacher là! Merci!

Je me suis pris la tête pour rien : Zygomatique et toi me l'avez bien fait comprendre : si il n'y a qu'une manière d'écrire l'élément de départ, quand on le fait passer par la case fonction, il ne peut avoir qu'une image unique. Ce qui montre qu'il suffit l'unicité de l'écriture du truc de départ pour avoir une fonction entre l'espace de départ et celui d'arrivée. Ce que je trouve fort là-dedans du coup, c'est qu'il y a pas besoin de condition du tout sur l'ensemble d'arrivée, ! (hormis bien sûr d'y considérer le même nombre de vecteurs que le nombre de vecteurs de la base de l'ensemble de départ, pour pouvoir associer à chaque antécédent une image unique).

Bonne journée