Compact

[jeje56]

Bonjour,

Je bute sur une démonstration :

Soit f de C dans R qui à z associe f(z)
Supposons que l'ensemble des z tels que f(z) soit un minimum pour f est un compact de C ; soit z0 dans cet ensemble :

Je ne comprends pas bien à quoi sert la suite, on dit : une fonction d'un compact dans R atteint toujours ses bornes...

Est-ce pour montrer l'existence de f(z0) ? Celle-ci me paraît déjà évidente par l'existence même de z0... Je m'embrouille...

Edit : en fait, si je ne fais pas fausse route, je cherche un exemple de fonction qui admet un minimum pour z=z0 mais qui n'atteint pas ce minimum en z0...

Merci bcp d'avance !

[Ericovitchi]

Ça te garantie que si tu as une suite de z de cet ensemble compact qui tend vers un z1 par exemple alors z1 est encore dans l'ensemble.
Mais à part ça, il faudrait connaître la suite pour voir où c'est utile.

[jeje56]

J'avoue que je ne vois pas bien...

Voici le lien de la preuve considérée :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%27Alembert-Gauss#Preuve_directe
(voir démonstration > preuve directe)

C'est la dernière phrase du deuxième paragraphe qui me pose pb : "Ensuite..."

Merci !

[kazeriahm]

ils veulent montrer que |P| admet un minimum sur C (on va montrer qu'en fait le minimum est 0). Pour ca ils expliquent que quand le module de z tend vers l'infini, le module de P aussi. Ca veut dire qu'il existe M tel que si alors \z|>=M, alors |P(z)|>=M'. Du coup ils regardent le comportement de |P| sur la boule {z/ |z|=

[jeje56]

Slt kazeriahm, merci bcp !

Il manquait donc l'argument de continuité dans leur preuve...

[kazeriahm]

qui était assez évidente vu qu'on parle de fct polynomiale

[jeje56]

C'est vrai ;-)