Compact

[sanaa]

slt
tous le monde jai eu un brobleme à resoudre cet exercice:


" soit (E,d) un metrique compact verifiant la proprité suivante
pour tout couple (x,y) apparetenant a E² ,il existe un unique point tel que ,
d(x,z)= d(z,y) = 1/2 d(x,y) ou z sera noté mi(x,y) unique point mi'distant entre xet y.

_1. soi A,B deux ferméd de E disjoints et non vides ,
a. dire pour quoi d(A,B)= {infd(x,y) / (x,y)€ A*B#0}

b. montrons qu'il existe z de E tel que d(z,A) = d(z,B)= 1/2d(A,B)

-2. On deduire que E est connexe.

3. Montrons que l'application mi définit de E*E dans E et donne pour (x,y) l'image mi(x,y) est une application continnue .

:triste:

[ThSQ]

1-
Des fermés d'un compact, ils sont compact donc.
d(x,y) est C° et atteint son min != 0 car les deux machins sont disjoints.

2-
Pareil c'est la C° de la distance.

3- écris que E est la réunion de 2 fermés disjoints et trouve une incohérence.







>> j'ai eu un brobleme ?
tu es enrhumé ? (désolé c'est trop tentant)

[sanaa]

merci pour ta reponse mais je me suis dit pour monter que
d(A,B)= {infd(x,y) / (x,y)€ A*B}#0
je suppose que d(A,B)=0 et j'utilise l'inf mais la question je c po comment rediger

[tize]

Bonjour,
tu as déjà vu le théorème de Bolzano-Weierstrass (caractérisation des espaces métriques compacts par les suites) ?

[sanaa]

merci pour l'aide mais j'ai peur ce n'est pasq ce que je cherche

[tize]

Bon,
soit tu utilise ce que ThSQ t'as dit plus tôt :

est continue et est compact et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes et si donc l'inf est 0 alors il existe tels pour aboutir à une contradiction...
Soit tu dis (mais c'est un peu plus long) donc il existe deux suites et telles que et comme est compact on peut extraire des sous suites convergentes...

[sanaa]

merci tize c tres genti de ta part :++:

[sanaa]

si j'ai bien compris je dis:
soit f une fon ction continue sur E
et on suppose que inf d(A,B)=0
c ad inf (x,B)=0 /xappartient a A
et inf (A,y)=0 tel que y appartient a B
et E est un compact
donc f ettent ses bornes d'ou il exite un '(X0,Y0) tel que d(X0,Y0)=0
et puisque A,B sont disjoints c contrzadiction

[tize]

Pas tout à fait...
E est compact certes mais l'inf est pris sur A tu dois donc dire que A est compact...
De même quand tu prend l'inf sur B...

[sanaa]

oui A et B sont des compacts ccar ils sont des fermes ds un compact .
toute partie fermeé dans un compact est compact