Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

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MaxUCBL
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Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par MaxUCBL » 25 Jan 2018, 22:59

Bonjour,

J'ai une question qui m'est venue à l'esprit totalement par curiosité, mais qui me pose quelques difficultés, peut-être en rapport avec les sommes triangulaires (voire juste trapézoïdales) ...

Si on considère N dés, qui ont respectivement (d1,d2,...dN) faces chacun, avec di dans [|0, fi|] (avec i dans {1,...,N}), comment (si cela est possible) déterminer la probabilité que la somme des nombres affichés par les dés lancés soit inférieure ou égale à un certain S?

(Expression de cette probabilité en fonction de S et des autres paramètres?)

Si jamais le cas est trop général, car il y a peut-être une difficulté de trop, il sera peut-être plus facile de commencer par N dés à 6 faces (ou plutôt p faces).

Le but est de s'intéresser à des nombres assez grands (N>>2) mais de rester avec des variables discrètes ... En tout cas dans les cas où il devient (vraiment) difficile de juste tracer un tableau et compter pour obtenir un résultat assez général.

En vous remerciant,



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Ben314
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par Ben314 » 25 Jan 2018, 23:43

Salut,
En général, quand on considère la somme de variables aléatoires discrète, un outil assez utile, c'est le "polynôme ???" (dont j'ai oublié le nom...) qui, si tu as une V.A.R. prenant les valeurs v1, v2, ... , vk avec des proba p1,p2, ... pk est P(X) = p1.X^v1 + p2.X^v2 + . . . + pk.X^vk.
L'utilité du bidule, c'est que si tu as deux V.A.R. indépendante auquel sont associés les polynômes P et Q alors la V.A.R. dont le résultat est la somme des deux autres, a comme polynôme associé le produit des polynômes P et Q.
Par exemple, dans le cas d'un dés à 6 faces (non pipé), le polynôme associé, c'est P=1/6(X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6) qu'on peut écrie plus simplement P=X/6(X^6-1)/(X-1).
Et si tu jette N dés de ce type, pour avoir les différentes proba. de somme, il "suffit" (c'est pas forcément évident d'avoir explicitement les coefficients) de développer le polynôme P^N.
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Elias
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par Elias » 26 Jan 2018, 00:12

Ben314 a écrit:Salut,
En général, quand on considère la somme de variables aléatoires discrète, un outil assez utile, c'est le "polynôme ???" (dont j'ai oublié le nom...) .


Ça s'appelle la fonction génératrice associée à la variable aléatoire (sauf erreur).
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MaxUCBL
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par MaxUCBL » 26 Jan 2018, 20:29

Je viens justement de retomber sur les fonctions génératrices dans une autre situation (cherchant à renforcer des bases pour la physique statistique). Merci pour vos réponses qui permettent de mieux voir comment les utiliser ; en fait ça ne m'était pas venu à idée pour ce problème là.

Je laisse quand même la place si quelqu'un voyait le résultat en un éclair (ou même après des heures de réflexion), on ne sait jamais, ou je repasserai si j'ai une réponse assez compacte.

MaxUCBL
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par MaxUCBL » 27 Jan 2018, 14:42

Ca se complique un peu par contre si je cherche la probabilité que la somme soit majorée ou minorée par un certain nombre. C'est là que des sommations assez complexes (en tout cas pour moi) apparaissent si je ne me trompe pas. Par exemple pour la probabilité que trois dés à dix faces donnent une somme supérieure à 12 (ou en tout cas supérieure à 10), ça fait une sommation sur une pyramide à base trapézoïdale ou quelque chose comme ça (si j'avais pris 4 dés, ça aurait fait un pavé), si je ne dis pas de bêtise.
Après s'il y a une astuce qui permet de les éviter je suis tout ouïe. Je songe à un moyen par exemple de passer à quelque chose de continu pour revenir au discret si c'est plus facile (notamment pour éviter de mettre des min et des max dans les formules).
Modifié en dernier par MaxUCBL le 27 Jan 2018, 15:42, modifié 4 fois.

pascal16
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par pascal16 » 27 Jan 2018, 15:29

on peut le voir comme l'intersection d'une sphère unité en norme 1 et un parallélogramme posé sur les N axes limités sur chaque axe par 0 et di (enfin 0 et di-1 ).
C'est la limitation sur chaque axe qui va changer la probabilité finale

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Ben314
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par Ben314 » 27 Jan 2018, 16:43

MaxUCBL a écrit:Je songe à un moyen par exemple de passer à quelque chose de continu pour revenir au discret si c'est plus facile (notamment pour éviter de mettre des min et des max dans les formules).
C'est effectivement la méthode standard utilisé par les matheux dans ce type de cas où il y a " beaucoup" de dés (y compris des dès différents) et le théorème central limite te dit que ta V.A.R. est proche d'une gaussienne.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MaxUCBL
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Re: Combinatoire et sommes : lancer de dés très quelconques.

par MaxUCBL » 27 Jan 2018, 18:58

Ah oui merci, j'oubliais ça aussi, cela fonctionne tant qu'ils suivent tous une loi uniforme malgré la variation du paramètre (dés différents) donc.
Et après si on veut généraliser encore plus, on arrive à l'idée de la convergence en loi (selon les propriétés connues, ici le théorème central limite se prête bien pour la somme ou encore la moyenne) je suppose (il y a des théorèmes relativement récents à ce que je vois sur wikipedia comme celui de Donsker).
On a presque fait le tour (enfin pour ma part, n'étant pas mathématicien), merci encore.

 

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