Combinatoire serie generatrice

[tilt77]

Bonsoir.
je vient de debuter la combinatoire et j'ai deja un petit soucis voici:

soit a(n) le nombre de couples (y; z) d’entiers naturels tels que y +z = n
soit b(n) le nombre de triplets (x; y; z) d’entiers naturels tels que x + y + z= n
je doit determiner a(n) puis montrer que la serie generatrice A =som a(n) est egale a 1/(1-X)²
puis que b(n)= a(n) +b(n-1) et une expression de la serie B=som B(n)X^n
et enfin le cas generale Ck(n) som Xi =n et la serie generatrice C=som CK(n)X^n

deja comment peut on commencer pour denombrer a(n)?

[girdav]

Salut,
pour les , il est clair que le puisque les entiers sont positifs.
Si tu fixes , que doit valoir ?

[tilt77]

Bonsoir
z doit valoir n - y

[girdav]

Donc combien de couples récupère-t-on quand va de à ?

[tilt77]

n+1 couple donc a(n)=n+1

[girdav]

Je suis d'accord. À partir de là vois-tu comment calculer ?

[tilt77]

oui
som (0 a +&) x^n=1/(1 - X)
or A est la derive de cette expression a=(1/1-X)'

[tilt77]

pour montrer b(n)= a(n) +b(n-1) je ne voit pa ce n'est pas la meme methode puisque la il ya 3 terme
peut etre une recurrence?

[girdav]

Je pense que l'on peut fixer : exprime alors dans ce cas en fonction des le nombre de triplets (qui en fait ne dépendent que de et de ) qui satisfont à .

[tilt77]

si on fixe x il y a n+1 couple (x;(y;z))
je ne voit pas
si puis comme x est utilisé il restz n-1 possibilite de choir un autre x donc b(n-1)

[tilt77]

donc b(n)=a(n) +b(n-1)

[girdav]

En fait pour fixé on a donc il y a triplets pour qui conviennent.
Maintenant, quelle sont les valeurs possibles que peut prendre ?

[tilt77]

x peut prendre les valeurs comprisent entre 0 et n
ps : ce que j'ai ecrit precedement est Faux?

[Ben314]

Salut,
Si tu veut obtenir "directement" la formule b(n)= a(n) +b(n-1), tu peut séparer les solutions de x + y + z = n en deux catégories :
1) Celles telles que z=0 : il y en a ...
2) Celles telles que z>0 : il y en a autant que de solutions de
x + y + (z-1) = n-1 (avec x,y,z-1 positifs ou nuls) donc il y en a ...

Conclusion.

[tilt77]

salutok merci c plus simple comme ça

[tilt77]

en fait j'ai commencé aujourdhui ce cours et j'ai encore du mal avec ces nouvelles notions
1 pour obtenir la serie generatrice de b(n)
2 puis la generalisation

[Ben314]

Tu as déjà montré que
Pose alors et utilise la seule chose que tu as montré pour le moment : b(n)= a(n) +b(n-1)
[il te faudra aussi utiliser le fait (évident) que a0=b0=1 dans les calculs...]

[tilt77]

merci pour votre aide

[tilt77]

Bonsoir.
je vient de debuter la combinatoire et j'ai deja un petit soucis voici:

soit a(n) le nombre de couples (y; z) d’entiers naturels tels que y +z = n
soit b(n) le nombre de triplets (x; y; z) d’entiers naturels tels que x + y + z= n
je doit determiner a(n) puis montrer que la serie generatrice A =som a(n) est egale a 1/(1-X)²
puis que b(n)= a(n) +b(n-1) et une expression de la serie B=som B(n)X^n
et enfin le cas generale Ck(n) som Xi =n et la serie generatrice C=som CK(n)X^n

deja comment peut on commencer pour denombrer a(n)?

ya pas un probleme de signe pour A =1/(1-X)²
car en derivant la serie il ya un signe moin
??

[Ben314]

Il me semble pas : la dérivée de 1/(1-X)=1/u est -u'/u² et, ici, u'=-1...

Un autre façon de voir que c'est bon est d'utiliser le développement :

qui, pour et donne :

Et on voit bien que tout les coeff. sont positifs (on risque de te demander ce calcul à la fin de l'exo dans le cas général, c'est à dire )