Cherche contre-exemple

[les TPEistes]

Bonjour, tout est dans le titre (ou presque).

Je cherche une fonction f continue telle que ait une limite réelle en +inf mais il faut que f n'ait pas la même limite en +inf (ou qu'elle n'en ait pas du tout d'ailleurs...)

Si quelqu'un a une idée géniale... (ou pas d'ailleurs...)

:we:

[Joker62]

Haileau ;)
J'te conseillerai fortement de te relire :)

[Joker62]

Haileau ;)

Si f a une limite L en +;), on aura
Pour tout e > 0, il existe A > 0 tel que t > A => |f(t)-L|
D'où L-e < f(t) < L+e
En intégrant sur x;x+1 on voit que l'intégrale à la même limite.

Donc si un tel contre-exemple existe, il est nécessaire que f n'ait pas de limite.

[Joker62]

On prend f définie par :

f(t) = t sur [0;1/2]
f(t) = 1-t sur [1/2;1]

que l'on prolonge par 1-périodicité.
Elle n'a pas de limite en +;) et il me semble que l'intégrale tende vers 1/4 car on peut se ramener à l'étude sur [0;1]

[les TPEistes]

Bonsoir, Joker. Merci beaucoup : effectivement, ça semble bien marcher !

Au passage, quand tu dis " D'où L-e < f(t) < L+e ", comment tu peux conclure 'proprement" que l'intégrale à la même limite ?

[Joker62]

En intégrant sur x;x+1, les parties gauche et droite ne dépendent pas de t, on sort le L-e et L+e respectivement reste plus qu'à intégrer 1 sur x;x+1 qui vaut 1 :o

On a alors l'existence d'un A tel que t > A => L-e < intégrale machin truc < L+e qui est la définition même du fait que intégrale machin truc tende vers L en +;)

[les TPEistes]

Très bien merci :we:

bonne soirée ;)

[yos]

On peut prendre aussi .