Changement de variable

par **Fanfan** » 13 Fév 2007, 11:13

Bonjour,
je cherche une limite mais je n'y arrive pas. Voici la fonction :

f(x)=(cos x)^(1/tan x), et je recherche la limite en Pi/2. J'ai essayer un changement de variable en posant x=Pi/2 + h avec h tend vers 0, car cela m'aiderai pour des equivalences. Cependant j'arrive à :

[exp( -tan h*ln(-sin h) ) -1 ]/h. Ce n'est pas terrible à cause du - devant le sinus. Est ce que mon changement de variable est correct, ou je dois procéder d'une autre manière ?

Merci pour vos réponses

par **Epsilon** » 13 Fév 2007, 12:06

bonjour
tu peut passer à l'expo

par **mathelot** » 13 Fév 2007, 13:00

en passant au log,

en posant

d'où:

par **Fanfan** » 13 Fév 2007, 13:44

Merci bcp pour ton aide

par **Fanfan** » 13 Fév 2007, 19:00

Petite question : je dois montrer la continuité de f(x)=cos(x)^(1/tan(x)) sur ]0,Pi/2[
Je peux dire que f est la composé de 2 fonctions continues sur cet intervalle, donc f est continue sur ]0,Pi/2[ ?

par **Yawgmoth** » 13 Fév 2007, 19:30

Tout petit message pour dire que c'est juste.

Je peux dire que f est la composé de 2 fonctions continues sur cet intervalle, donc f est continue sur ]0,Pi/2[ ?

La composée de fonctions continues est une fonction continue.

par **Fanfan** » 13 Fév 2007, 19:49

J'aimerai juste vérifier un résultat, pouvez-vous me donner votre avis :

f(x)=[-ln(cos(x))-1+cos²(x)]/sin²(x)

Quand x tend vers 0 :

ln(cos(x)-1+1)~cosx-1=-x²/2 + o(x²)

et cos²(x)-1=-x²+o(x²)

et sin²(x)=x²+o(x²)

d' où f(x)=[ x²/2 + o(x²) - x² + o(x²) ] / x² + o(x²)

f(x) tend vers -1/2 lorsque x tend vers 0

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 07:13

On peut multiplier ou diviser les équivalents entre eux sans utiliser les petits "o"
(ne pas mélanger les deux techniques).

par **Fanfan** » 14 Fév 2007, 11:15

Dans mon DM je devais dériver la fonction :
f(x)=-[ ( ln(cos x )/sin² x )+ 1]

ça ma donner :

f'(x)= [ sin²(x) + 2*ln ( cos x ) * cos x]/ (( sin x )^3 * cos x) ]

Puis je conclure que la fonction dérivée est srtictement positif sur ]0,Pi/2[ car chaque terme est positif sur cet intervalle et par consequent que f est strictement croissante ? Merci

par **Fanfan** » 14 Fév 2007, 17:02

dsl d'incister, mais j'ai besoin de savoir si ce résultat est bon

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 22:52

Fanfan a écrit:f '(x)= [ sin²(x) + 2*ln ( cos x ) * cos x]/ (( sin x )^3 * cos x) ]

Le cosinus de droite est au carré.

j'obtiens:

il ne reste plus qu'à étudier les variations de

sur

par **Fanfan** » 14 Fév 2007, 23:24

Exact, j'ai oublié un carré dans mon message. J'aimerai savoir pourquoi mon raisonnement est erroné car tous les termes sont positifs sur ]0,Pi/2[ et après avoir fait un graphe avec maple, je m'apperçois que cela correspond. Je me suis peut-être trompé, mais l'étude que tu me poposes n'est pas simple pour moi.
J'imagine que [0,1] correspond à [cos(Pi/2),cos(0)].
Merci pour ton aide

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 23:45

le souci est :

le changement de variable est

strictement décroissant de [0;pi/2] sur [0;1]

strictement croissante de [0;1] sur [0;1]

par **Fanfan** » 14 Fév 2007, 23:55

oui c'est vrai je n'ai pas fait attention.

est que ceci est bon :

ln(cos²(x))= ln(cos²(x)-1+1)=cos²(x)-1+ o(cos²(x)-1) et cos²(x) - 1= -x²+o(x²)

d'ou ln(cos²(x))= cos²(x)-1 + o(x²)

et je peux conclure que lim de f ' quand x tend vers Pi/2 est 0 ?j'ai des difficulté avec les dl.

merci :marteau:

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 23:58

:dodo: :dodo:

par **mathelot** » 15 Fév 2007, 08:53

quand

est proche de

, log(cos(x)) est un "infiniment grand" en valeur absolue. Pourquoi lui appliquer un développement limité ? ou alors, le comparer à des puissances de

mais ce n' est plus un DL.

par **Fanfan** » 15 Fév 2007, 10:05

l'idée du dl n'est donc pas une bonne idée. J'essaye de trouver la meme dériver que toi mais j'ai du mal. Peux-tu me dire où est ma faute : :briques:

[ cos²x (1- ln cos²x)]'=?

[cos²(x)]'=-2sinxcosx

[1-ln(cos²x)]'=2sinx/cosx

j'obtient : -2cosxsinx(-ln cos²x) ?? :hein:

par **mathelot** » 15 Fév 2007, 10:39

je t'ai proposé une méthode astucieuse. Je la réécris en détail:

le signe de f ' est le signe de l'expression:

Il ne s'agit pas d'étudier cette nouvelle fonction qui est trop compliquée
à dériver. Il faut penser à la voir comme la composée des fonctions:

et ensuite, on étudie séparément la motononie de

et

.

par **Fanfan** » 15 Fév 2007, 10:46

je dois te paraître assez stupid mais je vois ce que tu veux dire, cependant je n'arrive pas à obtenir le bon raisonnement pour conclure. Je dois dériver 1-y(1-ln(y)) ? si c'est le cas, il faut considérer y comme quoi ? C'est assez confu pour moi.

je dois donc trouver deux fonctions décroissantes et en deduire que leur composé est croissante ?

par **mathelot** » 15 Fév 2007, 10:50

considère la fonction

et tu la dérive comme d'habitude.
Dans cette notation d'une fonction avec une flèche, la variable est muette.

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