Mais comment donc arrive cette formule du changement de variable ?

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duchere
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Mais comment donc arrive cette formule du changement de variable ?

par duchere » 23 Juin 2006, 01:16

Bonjour, je viens de découvrir l'intégration par changement de variable...
Pleins de sites démontrent que la formule est vraie, et c'est très simple....
Mais aucun n'explique quel cheminement logique peut nous amener à trouver ce théorème...
Je hais apprendre des théories sans en connaitre le fond ou tout au moins sans en avoir l'impression...
Quelqu'un pourrait-il me donner des liens ou bien m'en parler ?
Merci
Jean

PS : j'ai essayé de faire le cheminement moi même mais j'ai un peu de mal...

PS : je suis un terminale... ne sortez pas de choses trop difficiles bien que je sois connaisseur



fonfon
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par fonfon » 23 Juin 2006, 09:34

Salut, je te donne un lien je sais pas si c'est vraiment ça que tu veux , je vais essayer de retrouver mon cours que j'avais fait la-dessus(mais comme c'est un peu le bordel..) en attendant:
->http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/integD.html

nox
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par nox » 23 Juin 2006, 10:44

Je crois que le vrai théorème de changement de variable je l'ai vu en 2eme année de DEUG ou en licence si je me souviens bien et pour le comprendre à fond et rigoureusement il te manque quelques notions.

Mais peut-être que quelqu'un arrivera à te l'expliquer de manière simple sans utiliser ces outils.

* * * * * *

autant pour moi le lien juste au dessus a l'air bien fait :D

Nicolas_75
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par Nicolas_75 » 23 Juin 2006, 11:39

Bonjour,

En "notation physicienne", le changement de variable se comprend très bien :

On pose et on introduit un :



Nicolas

Chimomo
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par Chimomo » 23 Juin 2006, 11:40

Pour l'intégrale des fonctions de variables réelles le changement de variable peut se comprendre assez facilement, car si tu prends F une primitive de f, on a : .

Bien sur il faut pouvoir utiliser une primitive(ce qui est toujours faisable pour une fonction f continue sur un intervalle), mais ca donne déja une idée.

duchere
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par duchere » 23 Juin 2006, 12:17

Merci pour les réponses...
Mouais.....
En fait....
Ce que je me demandais, c'est comment un mathématicien a pensé à cela....
Là, j'ai l'impression qu'on donne une formule, et qu'on montre que c'est vrai, et non pas qu'on montre ce qui peut nous amener à trouver cette formule....
NON ?

nox
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par nox » 23 Juin 2006, 12:21

si on veut être rigoureux :

* pour pouvoir remplacer x par une variable y=Q(x) il faut que F soit une application injective et différentiable

*il faut que |det Q' |f(Q) soit intégrable (L1)
(det est le déterminant)

nox
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par nox » 23 Juin 2006, 12:23

en fait je pense qu'on a trouvé ca de la manière suivante :

on veut intégrer la fonction f(x)...sans succès.

Comment la modifier sans pour autant modifier le résultat de l'intégrale?

---> en considérant x comme résultant lui même d'une fonction Q(y).

Ainsi notre fonction f(x) devient f(Q(y)) et l'intégrale reste la même.

Restait ensuite à construire le théorème de manière rigoureuse

abel
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par abel » 23 Juin 2006, 12:49

Salut, cette formule se comprend bien en physique qud par exemple on veut integrer une fonction en coordonnées polaire : un deplacement elementaire est en cartesienne dr=(dx,dy) et en polaire c'est dr=(dr,r*da) (a comme angle) en coordonnées polaire. Pour calculer l'aire d'un cercle, on somme les éléments d'aire élémentaires qui sont des "petits carrés" en cartesienne (dx*dy) et qui sont des morceaux de cylindre en polaire (r*dr*da). on comprend bien qu'il est plus facile de "remplir" un cercle par des portions de cylindres que par des carrés donc en gros le changement de variable permet de changer la géométrie des éléments que l'on ajoute (enfin c'est une interpretation dans mon cas uniquement)....Bon voilà comment on peut le comprendre intuitivement, apres, on fait des changements de fonctions plus tordus pour se ramener à des fonctions +simple que l'on sait mieux primitiver...
Voilà j'espere ne pas t'avoir trop embrouillé avec l'exemple de la physique..

Pardon, ce ne sont pas des morceaux de cylindre dans le plan mais en gros ca ressemble à des arcs de cercles avec une "epaisseur tres petite"

Chimomo
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par Chimomo » 23 Juin 2006, 13:19

C'est vrai que c'est probablement les physiciens qui ont inventés les changements de variables puisque l'intégrale à été définie pour la physique au départ (des histoires de fluxions que Newton sommait ...).

yos
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par yos » 23 Juin 2006, 13:33

Tu connais les formules de dérivations :
1) (u+v)'=u'+v' et (ku)'=ku'
2) (uv)'=u'v+uv'
3) (vou)'=(v'ou)Xu'

Si tu les traduis en calcul intégral, tu obtiens respectivement :
1) la propriété de linéarité,
2) la méthode d'intégration par parties,
3) la méthode de changement de variable.

Rien que du très naturel par conséquent.

kazeriahm
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par kazeriahm » 23 Juin 2006, 20:14

ceci dit si tu ve comprendre pourquoi et comment tous les resultats ont ete conjectures, puis comment la demonstration est venue a l'idee du mathematicien, ta pas fini. Je pense que l'essentiel est de comprendre l demonstration, son"essence" s i je puis dire. Apres ca tient plus de l'histoire des sciences

duchere
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par duchere » 23 Juin 2006, 20:30

kazeriahm >> Jamais je ne pourrai faire comme toi.
Ca me portera surement tort, car en prépa, parait-il, il faut raisonner comme toi....
Je ne suis pas capable...
Et j'aime l'histoire des maths pour la simple et bonne raison que parfois, j'ai du mal à croire que les maths ne soient pas qu'illusions....
J'ai du mal à croire qu'une chose si solide ait pu être construite...
J'ai du mal à croire qu'on ne se morde pas la queue aussi....
Et le pire dans tout ca, c'est que l'évolution des maths a été tellement "buissonnière" si vous voyez ce que je veux dire, qu'il est impossible de remonter au fondement des maths....
Les maths sont la plus grande chose que l'homme ait créé, les maths sont quelque chose qui le dépasse, il me semble....

Je rêve d'un livre qui retrace l'histoire des maths.
Si un jour mon niveau le permet, j'aimerais écrire un tel livre, pour tout au moins avoir l'impression de comprendre comment l'homme a pu créer une telle chimère !

Enfin bref....
Voilà ma vision de jeune ado rebelle, qui rentrera certainement bientot dans les rangs et n'aura que faire de savoir le pourquoi... du comment !

Jean

Chimomo
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par Chimomo » 23 Juin 2006, 21:39

Duchere, on ne t'a jamais di tde retenir de facon bete et méchante, on t'as dit de comprendre comment ca marche . Quant à savoir d'où viennent ces résultats historiquement, il existe pleins de livres sur l'histoire des maths et plein de publications (notamment au sujet des intégrales et donc probablement des changements de variables).

duchere
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par duchere » 23 Juin 2006, 21:51

Chimono, même si tu ne le fais pas exprès, je n'aime pas du tout ta façon de parler. Pourquoi prendre cet air supérieur ?

Et si tu sais lire, et non pas seulement péter plus haut que ton cul, j'ai très bien compris ce que vous dites de faire : comprendre que le théorème est vrai.
Oui, et non pas retenir, en effet.

Mais ce que j'aimerais ( et ce qui est plus divin qu'humain, ce dont tu es surement capable grand chimono), c'est comprendre comment on trouve ce théorème vrai. Que je sache, il n'est pas tombé du ciel... quoi que la philosophie de mon année de terinale m'en fait de plus en plus douter.

J'arrive pas trop à trouver d'exemple, mais bon... j'en donne quand même un pourri....
La définition de la dérivée nous permet de démontrer facilement que si elle est positive, la fonction est croissante.
Cependant, il est plus intéressant de comprendre que Newton a pensé à étudier le taux d'accroissement à un instant précis et c'est comme cela qu'il a posé la définition de la dérivée(je me trompe peut-être), et là on comprend dessuite mieux non ?
Enfin je sais pas .. C'est mon avis en tout cas....
PS : des livres d'histoire des maths existent ? Non ? Sérieux ?

duchere
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par duchere » 25 Juin 2006, 02:19

Nicolas 75>>> Comment expliques-tu le changement de bornes avec ta démo ?

JEan

Nicolas_75
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par Nicolas_75 » 25 Juin 2006, 03:54

Jean >> Je n'ai pas de fait de démo. Juste un "jeu d'écriture physicien".
Au début, on intègre par rapport à x (dx).
Au bout d'un moment, on intègre par rapport à t (dt)
Il faut adapter les bornes en utilisant t=t(x)

Nicolas

duchere
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par duchere » 25 Juin 2006, 13:15

Je suis d'accord avec toi.
Je ne te faisais pas de reproche.
Jean

Nicolas_75
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par Nicolas_75 » 25 Juin 2006, 13:17

Je ne l'ai pas pris comme un reproche. ;-)
Je répondais juste à ta question.

Cordialement,

Nicolas

Chimomo
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par Chimomo » 25 Juin 2006, 13:48

Modère toi Duchère, et cesse d'être insultant. Ma façon de parler est tout a fait normale et jen'ai aucun air supérieur. Si tu savais lire tu aurais vu que nous avons dit que le changement de variable, comme l'intégrale, venaient probablement de la physique car c'est Newton qui l'a a inventée. L'explication physicienne qui a été fournie me parait en effet un bon chemein qui aurait mené au changement de variable.

Ta façon de voir ce que t'as dit Kazerhiam parrassait très péjorative, c'est juste pour ca que j'ai réagi.
SInon tu devrais trouver la réponse à ta question dans n'importe quelle bibliothèque universitaire.

 

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