Mais comment donc arrive cette formule du changement de variable ?

[duchere]

Ce que fait Kazerhiam, c'est ce qu'il faut faire pendant les études, c'est tout, et ce n'est pas préjudiciable !
Et j'ai justement fait remarqué à Nicolas que c'était selon moi la meilleure réponse qui m'ait été apporté et je l'en remercie dans la mesure où désormais dx n'est plus constant.
dx , c'est x(x0+h)-x(x0) quand h tend vers 0
C'est finalement selon moi une sorte d'extension de l'intégrale de Rieman dans la mesure où maintenant on découpe l'intervalle en de minuscules intervalles de taille variable selon t, d'où l'apparition de dt


Non ?

Jean

[duchere]

Rien .......

[Nicolas_75]

[...] dans la mesure où désormais dx n'est plus constant.
dx , c'est x(x0+h)-x(x0) quand h tend vers 0
C'est finalement selon moi une sorte d'extension de l'intégrale de Rieman[...]

Pourquoi "extension" ? Selon moi, c'est exactement cela l'esprit de l'intégrale de Riemann : une succession de petits rectangles, dont la largeur tend vers un infiniment petit "dx".

Nicolas

[duchere]

Eh bien selon moi, l'intégrale de Rieman,
c'est
avec
C'est-à-dire dx constant, non ?

Tandis que si dx n'est pas constant, bon, et là j'ai un peu de mal à formuler, mais il me semble que ce serait :


avec
Non ?
J'suis pas sûr de moi là...
Jean

[duchere]

Je pense que c'est faux.
Quelqu'un peut m'aider ?

[nox]

avec
C'est-à-dire dx constant, non ?

baeuh constant par rapport à quoi?le but oui c'est de faire tendre les dx vers 0 et c'est le cas dans l'intégrale de Riemann puisqu'on passe d'une somme discrète à une somme continue.

Mais évidemment dans l'intégrale dx est constant. Le passage à la limite où on fait tendre dx vers 0 correspond au passage de la somme discréte à la somme continue.

Enfin moi je vois ca comme ca...

[duchere]

je suis totalement d'accord avec toi....
Cependant, ce que je note, c'est qu'il n'y a aucune raison pour que dx soit constant... D'où une formule plus générale de l'intégrale que j'essaie d'énoncer et à laquelle j'ai oublié de rajouter que


Jean

[nox]

Cependant, ce que je note, c'est qu'il n'y a aucune raison pour que dx soit constant...

comment ca?quel est le passage qui te gêne?dx est la valeur de "la largeur du rectangle".La valeur de dx constante choisie est la valeur limite cad infiniment petite...non?

[Nicolas_75]

Je ne sais pas trop où tout cela nous mène...

n'est pas un réel, c'est une notation.


EDIT :

Selon moi, ce qui se rapproche le plus de dans le membre de droite est

Nicolas

[nox]

n'est pas un réel, c'est une notation.

il faut bien que ca représente quelque chose une notation. En l'occurence dx est bien un réel pour moi.

et je dirai plutot :



je tombe donc d'accord avec duchere sur la valeur de dx

[Nicolas_75]

nox, merci pour la correction de la formule.
Pour ma part, j'en reste là.

[nox]

oui on commence un peu à tourner en rond ^^

[Chimomo]

Certains vont trouver que je me répète par rapport à d'autre topics, mais l'intégrale de Riemann est une notion plus générale que des sommes de rectangles. En fait il s'agit là d'un cas particulier de ce qu'on appelle des sommes de Riemann, mais l'intégrale s'approche mieux avec des trapèzes, voir des polynômes.

Quand au dx, je pense qu'il est dangereux de le confondre avec (b-a)/n pour deux raisons :
1) Du point de vue des sommes de Riemann, on peut prendre un pas de subdivision totalement irrégulier, et votre dx n'a plus aucun sens.
2) l'origine de la notation dx se cache dans le calcul différentiel, il s'agit en fait d'une notation simplifiée pour représenter des applications linéaires donc il n'a en fait rien à voir avec un réel.

Pour revenir à la somme de Riemann qui rest le meilleur moyen d'aborder l'intégrale au lycée, elle est un peu plus générale que ce que vous en dites :
Si f est une fonction continue (continue par morceau suffit) sur [a,b], soient des points de [a,b] avec et , et tels que pour tout j . Alors tend quand pour tout i tend vers 0 (ce qui implique que n tend vers l'infini) vers .

[duchere]

Je crée un nouveau post, pour le dx variable...

[nox]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann

wikipedia n'est pas d'accord avec toi chimomo ^^

il ressort exactement la formule qu'on a mise au dessus et que je suis allé chercher dans mes souvenirs de licence :p

Je suis d'accord avec tout ce que tu as dit cependant la notion de base est bien celle qu'on a définie au dessus. Apres c'est certain qu'on peut avoir un pas variable est utiliser la méthode des trapèzes, des rectangles a gauche etc...

[duchere]

La méthode des trapèzes, est-ce-que c'est pareil que Rieman sauf que le côté du haut du rectangle n'est plus horizontal mais devient de pente f'(x) ?
Ca me paraitrait bien non ?
Jean

[Sdec25]

La pente du côté est (f(a+h)-f(a))/h, donc je ne dirais pas que la pente est f'(x), mais plutôt tend vers f'(x) quand h tend vers 0 (ok je chipote), du moins dans la formule on n'utilise pas f'(x).
Remarque : l'aire des trapèzes est la moyenne des aires supérieures et inférieures en utilisant les rectangles, puisque l'aire d'un trapèze = (aire grand rectangle + aire petit rectangle) / 2

[duchere]

Oula ! Il me semble que cela ne veut rien dire f'(x) quand h tend vers 0....
cependant, je ne connais pas la formule, mais si tu veux me la donner je prends....
J'ai pas trop la foi de chercher... j'ferai ca en cours l'année prochaine...
Je demandais ca par curiosité, mais de toute manière c'est hyper intuitif....
ET est-ce-qu'il y a une manière encore plus précise de définir l'intégrale ?

J'ai vaguement entendu parler du développement limité qui si j'ai bien compris permet d'approcher une courbe par une courbe très proche, et non plus simplement par sa tangente, ca marche ca ? Désolé si j'dis dxes conneries...

Jean

[Sdec25]

En fait je voulais dire : quand l'intervalle (h) tend vers 0, la pente du côté supérieur du trapèze tend vers la dérivée de la fonction. On ne peut pas vraiment dire que la pente est f'(x) car la base du trapèze n'est pas nulle, l'hypothèse h tend vers 0 est faite après, mais c'est vrai que je chipote là

Je n'ai pas lu tous les post précédents donc je vais peut-être dire des choses qui ont déjà été expliquées.
La formule dont je parlais c'est la somme de Riemann, c'est à dire ou encore

Si on fait des calculs approchés d'intégrales (quand on ne connaît pas de primitive), on remarque que l'aire des trapèzes est la moyennes des 2 sommes (inf et sup) ce qui est évident puisque l'aire d'un trapèze est la moyenne des aires des rectangles sup et inf.

On peut définir la somme de Riemann sur des trapèzes :
et on voit bien que c'est la moyenne des 2 sommes (sup et inf).

ET est-ce-qu'il y a une manière encore plus précise de définir l'intégrale ?

Les intégrales sont définies par la limite commune de ces 2 sommes, ce que tu dois déjà savoir.

C'est vrai que c'est assez intuitif, mais si on calcule les sommes et qu'on fait tendre n vers l'infini, on trouve bien la même limite, donc il n'y a pas de problème pour défnir l'intégrale, mais pour le calcul approché on fait les trapèzes ou la moyenne des 2 sommes.

Sinon les développements limités ne sont pas utilisés (à ma connaissance) dans les intégrales.
Tu vas faire ça l'année prochaine, tu verras c'est très intéressant. On approche une fonction par la tangente (ordre 1), et avec les DL on peut approcher plus précisément avec des x^2, x^3 et ainsi de suite. Et il y a aussi les séries entières (développement limité non limité).
Si tu veux d'autres infos n'hésite pas :happy2:

[duchere]

merci beaucoup pour tes réponses qui sont hyper claires !
Tu penses que ce serait possible d'approcher les petites aires avec le développement limité pour avoir une précision plus rapide si par exemple on utilise un ordi pour faire un calcul approché ?
Jean