Dérivée après changement de variable

[Demis]

Bonjour à tous,

Alors je me pose une question, en tant que physicien un peu paresseux des maths, mais souhaitant remédier à cela !

Lorsqu'on manipule des fonctions de plusieurs variables, et que l'on fait un changement de variable sur chacune d'entre elles, comment exprime-t-on les dérivées partielles par rapport aux nouvelles variables en fonction des dérivées par rapport aux anciennes variables dans le cas général ?

Pour expliquer le cadre dans lequel s'inscrit ma question :



Avec





Alors quand on n'a qu'une seule variable, je connais bien la technique du




Mais avec plusieurs variables, je ne sais pas trop, il me semble qu'il y a une histoire avec le Jacobien de la transformation, mais je sais pas exactement comment on procède.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Dlzlogic]

Bonjour,
Comme il n'y a pas de réponse, je me lance.
D'abord, la notion de dérivée d'une fonction est parfaitement définie. Si la fonction à plusieurs variables, il y a autant de dérivées partielles que de variables, chacune des autres étant prise comme constante.
Lors d'un changement de variable, on a une ou des nouvelle(s) variable(s) liées par une ou des nouvelle(s) fonctions.
Je ne vois pas très bien ce que vient faire le calcul matriciel dans un problème de dérivation.
Si je dis hérésies, j'en demande pardon à l'avance.

[DamX]

Bonjour,
Comme il n'y a pas de réponse, je me lance.
D'abord, la notion de dérivée d'une fonction est parfaitement définie. Si la fonction à plusieurs variables, il y a autant de dérivées partielles que de variables, chacune des autres étant prise comme constante.
Lors d'un changement de variable, on a une ou des nouvelle(s) variable(s) liées par une ou des nouvelle(s) fonctions.
Je ne vois pas très bien ce que vient faire le calcul matriciel dans un problème de dérivation.
Si je dis hérésies, j'en demande pardon à l'avance.

Hello,

Si le calcul matriciel peut bien être introduit dans un problème de différentiation à plusieurs variables.

Supposons que l'on est dans R^n, avec un système de coordonne x1,...,xn (cartésien par exemple), et que l'on veuille se placer dans un système de coordonnées y1,...,yn (sphérique par exemple en dimension 3 pour coller à son cas).

On a bien sur des relations pour passer d'un système à l'autre :

J'identifie la coordonnée et sa relation.

la relation entre les dérivées Dun système avec celle de l'autre est bien connu, c'est :


Où est l'operateur " .

On voit ici se dessiner un produit matriciel, en fait si on Ecrit le gradient défini classiquement et la matrice jacobienne de transformation , on a en fait tout simplement :



Damien

[Demis]

Merci beaucoup, c'est exactement la réponse que j'attendais :)