Changement de variable

[Thomas Joseph]

Bonjour,

pour effectuer un changement de variable dans une intégrale, il faut que la fonction de changement de variable soit C1.

Beaucoup d'étudiants rajoutent une condition de bijectivité sur cette fonction afin de valider les changements de variable : est-ce fondé ? y a-t-il une raison mathématique valable pour rajouter cette condition ?

Merci pour votre réponse.

[adrien69]

Salut,
Si ton domaine est joli (un segment) ce n'est pas nécessaire.
Si ce n'est pas le cas il devient nécessaire d'avoir un difféomorphisme.

[Thomas Joseph]

Merci, bonne journée.

[Thomas Joseph]

Salut,
Si ton domaine est joli (un segment) ce n'est pas nécessaire.
Si ce n'est pas le cas il devient nécessaire d'avoir un difféomorphisme.

Arriverais-tu à donner une explication géométrique à cela ?

[jlb]

Salut, je dirais que c'est une confusion entre le changement de variable pour déterminer une primitive et le changement de variable pour calculer une intégrale. Bonne journée.

[Thomas Joseph]

En relisant cours et démonstrations associées, je suis bien d'accord avec Adrien.
A plusieurs variables, il faut un difféomorphisme afin que le jacobien ne s'annule pas.

Le problème que je rencontre est que je ne parviens pas à le visualiser géométriquement (et que j'aurais même tendance à penser intuitivement qu'il faut une bijection dans le cas de segments de R, ce qui n'est pas le cas)

[Ben314]

En relisant cours et démonstrations associées, je suis bien d'accord avec Adrien.
A plusieurs variables, il faut un difféomorphisme afin que le jacobien ne s'annule pas.
Le problème que je rencontre est que je ne parviens pas à le visualiser géométriquement (et que j'aurais même tendance à penser intuitivement qu'il faut une bijection dans le cas de segments de R, ce qui n'est pas le cas)

Pour moi, la GROSSE différence entre les intégrales sur R et celle sur R^n (n>=2), c'est la "relation de Chasles" pour les intégrales dans R qui autorise à intégrer de b à a lorsque b>a.
C'est ce qui fait que lors d'un changement de variable, on peut utiliser des fonctions décroissantes voire même des fonctions non monotones : si la fonction f à intégrer est >0, et que l'on pose x=phi(t), lorsque phi croit, ça augmente la valeur de l'intégrale et, lorsque phi décroit, ça la diminue d'autant. Bilan : si phi n'est pas bijective sur [a,b], c'est bon quand même. Tout cela tient au fait que l'on multiplie par phi'(t) qui va être positif ou négatif selon que phi croit ou décroit.

Aprés, pour les intégrales dans R^2, il n'y a plus vraiment de relation de Chasles et en plus, l'habitude veut que l'on multiplie par la valeur absolue du déterminant du jacobien pour ne pas être embête par les problèmes d'orientation donc dans ce cas, il faut évidement que le changement de variable soit bijectif...

[Thomas Joseph]

Merci beaucoup pour cette belle réponse Ben, qui répond parfaitement à mon interrogation,

bonne soirée,

Thomas.

[adrien69]

On pourrait t'opposer Ben que



Personnellement je vois plus le problème comme le fait que dans R, si n'est pas bijective, de réciproque dérivable, on a quand même la mesure de la somme des overlaps qui est finie, ce qui permet de calculer, tandis que dès qu'on prend une dimension en plus on n'en est plus sûrs. Je peux me tromper mais c'est la vision que j'en ai.

[Ben314]

On pourrait t'opposer Ben que



Personnellement je vois plus le problème comme le fait que dans R, si n'est pas bijective, de réciproque dérivable, on a quand même la mesure de la somme des overlaps qui est finie, ce qui permet de calculer, tandis que dès qu'on prend une dimension en plus on n'en est plus sûrs. Je peux me tromper mais c'est la vision que j'en ai.

Pour ta formule, ça ne "s'oppose pas" à ce que j'ai dit, mais ça fait simplement remarquer que, pour une intégrale réelle, si tu l'écrit comme une intégrale sur un intervalle (et pas comme on le fait au lycée comme une intégrale de a à b) tu te place dans le cas général de dimension quelconque où le changement de variable doit être bijectif ET où on prend la valeur absolue du déterminant de la différentielle.

Après, concernant ta remarque en dessous, je ne comprend pas bien : dans R, si tu ne vérifie rien, et que tu autorise des changement de variables non bijectif tu peut parfaitement tomber sur des intégrales non convergentes.
Par exemple, si tu as à intégrer 1/x de racine(2)/2 à 1 et que tu pose x=sin(t) où t varie de pi/4 à 5pi/2, ça va déconner sévère...

[adrien69]

Pour ta formule, ça ne "s'oppose pas" à ce que j'ai dit, mais ça fait simplement remarquer que, pour une intégrale réelle, si tu l'écrit comme une intégrale sur un intervalle (et pas comme on le fait au lycée comme une intégrale de a à b) tu te place dans le cas général de dimension quelconque où le changement de variable doit être bijectif ET où on prend la valeur absolue du déterminant de la différentielle.

Ça c'était juste un truc en passant, pour "l'habitude veut que". Rien de bien méchant.

Après, concernant ta remarque en dessous, je ne comprend pas bien : dans R, si tu ne vérifie rien, et que tu autorise des changement de variables non bijectif tu peut parfaitement tomber sur des intégrales non convergentes.
Par exemple, si tu as à intégrer 1/x de racine(2)/2 à 1 et que tu pose x=sin(t) où t varie de pi/4 à 5pi/2, ça va déconner sévère...

Là j'ai été vachement elliptique. Je n'ai jamais dit qu'il fallait que le changement de variable fasse sortir du domaine de définition par contre.
Ce que j'entendais dire c'est que si on a une telle fonction, qui ce coup-ci n'est pas bijective, la tronche de la fonction va être telle qu'il risque bien d'y avoir au voisinage une infinité d'images égales, ce qui explose de ce fait l'argument de compensation.
Parce que quand tu te dis dans R "je n'ai pas une fonction monotone", tu la prends quand même monotone par morceaux (car C1 par morceaux), ou bien "je n'ai pas un changement de variable bijectif", ce n'est pas grave parce que tu n'as qu'un nombre fini de copies de chaque image. Ce qui n'est pas vrai dès que tu montes dans les dimensions.