Changement de Variable

[patrick15]

Bonjour,

J'ai l'intégrale suivante qui est en coordonnées Sphériques :



Comment faire pour passer cette intégrale en coordonnée cylindriques ? Dois je utiliser le jacobien ou remplacer dR par sa différentielle ?

Merci pour votre aide.

[Skullkid]

Bonjour, ton intégrale est une intégrale simple, tu n'intègres que sur une dimension. Les coordonnées cylindriques et sphériques décrivent un espace à 3 dimensions. Ça n'a pas de sens de parler de changement de variable sphérique -> cylindrique quand tu n'as qu'une seule coordonnée, ça n'a de sens que dans une intégrale triple.

Et puis, pourquoi veux-tu faire ce changement de variable, d'ailleurs ?

[patrick15]

En fait, c'est l'expression d'une contrainte, et selon le livre d'ou j'ai récupéré , c'est en sphérique, et donc comme tout le reste de mes equations sont en cylindrique, j'ai besoin de tout exprimer en cylindrique.
Voila les deux expressions venant directement d'un livre :



Avec T la température qui dépend de ro aussi.

Que dois je faire ?

[Skullkid]

Oui, j'ai sans doute pas été assez précis : dire que ton intégrale "est en sphériques" a un sens (en physique du moins), ça indique ce que signifie physiquement ta variable r. Ce qui n'a pas de sens, c'est de parler d'un changement de variables sphériques -> cylindriques dans ton intégrale, puisque ce changement de variable prend 3 variables réelles, et les "mélange" pour donner 3 nouvelles variables.

Mes souvenirs de méca sont un peu flous, mais qu'est-ce que tu veux en faire de tes contraintes ? Si elles sont exprimées en sphériques, c'est probablement que tu étudies un objet à symétrie sphérique, il n'y a aucune raison que tu aies certaines quantités exprimées en cylindrique. Et normalement, les équations qui apparaissent dans ton cours sont sous forme tensorielle, donc indépendantes du système de coordonnées choisi.

[patrick15]

En fait je suis en stage et le but est d'obtenir la perméabilité d'un béton poreux soumis à une nanoindentation, bref je dois commencer par determiner l'équation qui régie la déformation en fonction de la force appliquée par la nanoindentation. La déformation est constituée de deux termes, un lié à la force et un deuxième qui est du à une expansion thermale ( ça vient de mon tuteur, c'est une analogie qu'on a du faire). J'ai déjà trouvé le terme lié a la force qui est exprimé en cylindrique, je suis tombé sur cet article qui défini les contraintes liées à une expansion thermale :
http://www-personal.umich.edu/~jbarber/IJMS1972.pdf
C'est sur le haut de la 3ème page que j'ai récupéré les formules mais je dois les mettre en cylindrique même si je reconnais que cela n'a pas vraiment de sens vu que ce sont des intégrales simples...
Donc voila je suis un peu perdu ! Auriez vous une idée ?
Merci.

[Skullkid]

Ces formules que tu cites s'appliquent à un solide semi-infini soumis à une source de chaleur constante ponctuelle. Le champ de température causé par la source est à symétrie sphérique, et c'est pour ça que les contraintes résultantes sont exprimées en coordonnées sphériques.

Si ton stage ne porte pas sur un solide semi-infini soumis à une source de chaleur constante ponctuelle, ces formules ne s'appliquent pas a priori. Tu pourrais, par exemple, aller chercher dans la référence citée par l'auteur (Timoshenko et Goodier) où le raisonnement qui mène à ces formules est sans doute expliqué, et peut-être adaptable à ton problème.

[busard_des_roseaux]

bonjour,


il y a une première contrainte dynamique, d'origine ponctuelle, qui s'exprime agréablement en coordonnées sphériques et une contrainte thermique, de source linéaire, qui s'exprime en coordonnées cylindriques (ou l'inverse)


Les sphères sont tangentes intérieurement aux cylindres, le changement de coordonnées sphériques-cylindriques ne concerne qu'une seule coordonnée



avec

on pourrait imaginer que la côte z , en cylindrique, et les composantes des contraintes sur l'axe de rotation du cylindre , soit calculées avec un développement en sérier de Fourier avec la mesure d'angle (pourquoi pas) puisque z ne dépend que du

[busard_des_roseaux]

remarque: si tu dois travailler avec un changement de coordonnées
, regarde les formules liées aux polynomes de Chebyshev:

i) c'est une famille de polynomes orthogonaux pour la mesure
qui est aussi la différentielle de la fonction arcsinus
ii) il y a des formules de calcul intégral utilisant les zéros des polynômes de Chebyshev (interpolation intégrale de Gauss-Chebyshev)

[Skullkid]

le changement de coordonnées sphériques-cylindriques ne concerne qu'une seule coordonnée



avec

Non, les r ne sont pas les mêmes. Si sont les coordonnées cylindriques, le changement de variable pour passer en sphériques est , où la deuxième coordonnée sphérique est la colatitude, comme on a davantage l'habitude de faire en mécanique. Et le problème est bel et bien qu'il n'y a pas de correspondance directe entre le r cylindrique et le sphérique.

Il faut repartir des équations de base, tensorielles, et les utiliser pour trouver les formules adaptées au problème considéré.

[busard_des_roseaux]

@skullkid: autant pour moi! ce que j'ai écrit est grossièrement faux

par contre, est-ce que les équations finales ne doivent pas être invariantes par les rotations affines
autour de l'axe du cylindre ?

[Skullkid]

par contre, est-ce que les équations finales ne doivent pas être invariantes par les rotations affines
autour de l'axe du cylindre ?

Ça je ne sais pas vraiment, ça dépend du problème. Si j'ai bien compris patrick15, il étudie une éprouvette cylindrique qui n'est soumise à aucune source de chaleur, mais dont la température change du fait de la nano-indentation qui, je suppose, est appliquée selon l'axe du cylindre. Si c'est bien le cas, alors oui il y a invariance par rotation autour de l'axe du cylindre, et les formules données pour les contraintes ne sont pas du tout adaptées au problème.

[busard_des_roseaux]

c'est quoi une nano-indentation ? :we:

[Skullkid]

C'est un test pour mesurer certaines propriétés des matériaux. En gros on appuie sur le matériau pour le déformer, et on regarde comment il réagit en fonction de l'intensité de la force appliquée, à la fois pendant qu'on appuie et une fois qu'on a arrêté d'appuyer. Le préfixe nano- indique que le test en question (l'indentation) se fait à très petite échelle.

[busard_des_roseaux]

ah, ce sont des contraintes locales ? pourquoi ils ne font pas un maillage de l'espace , en dimension 3, avec des éléments finis, au lieu de coordonnées ?
si c'est local et nano, p-e travailler en coordonnées barycentriques (éléments finis)

[Skullkid]

Oui, est un objet local. Mais là on parle de l'établissement des équations, pas de leur résolution. patrick15 cherche à trouver les liens théoriques entre la force appliquée et le tenseur des contraintes (ou le tenseur des déformations).

[patrick15]

Serait il possible en partant des expressions que jai donne plus haut, de remplacer dR par sa differentielle et donc obtenir une somme de deux integrales, l'une en dr et l'autre en dz ?
J'ai pense que ca aurait pu marcher mais un simple test dans mathematica m'a demontre que les deux quantites (l'integrale en R et la somme d'integrales en r et z) n'etaient pas egales.Pourquoi ?

ps: desole pour l'orthographe mais je suis sur un clavier qwerty

[Skullkid]

Parce que, comme dit précédemment, tu ne peux pas faire le changement de variable désiré. Il n'existe pas de fonction f telle que , et un changement de variable ça n'est possible que de n variables vers n autres variables, on ne peut pas modifier le nombre de variables.

En version physicienne, tu as , et quand varie de 0 à R, r varie de 0 à R et z varie entre : r et z sont intriqués, tu ne peux pas les séparer.

L'idéal serait de remonter les calculs qui ont abouti à la formule que tu as cité (et t'assurer que cette formule correspond bien à ce que tu veux étudier). Une façon possible de procéder (sans doute équivalente) est de reconstituer artificiellement une intégrale triple, et faire le changement de variable dessus :

Comme on pouvait s'y attendre, la forme de l'intégrale finale est nettement moins sympathique...