Changement de variable limites

[Toto256]

Bonjour,

J'ai une question concernant le calcul de la limite suivante : avec . Cette limite vaut .
Je ne peux pas réécrire sous la forme exponentielle car on ne sait pas à priori si est strictement positif. Mais hormis cela, imaginons que l'on puisse écrire . On reconnait presque une croissance comparée avec qui tend vers . Donc on peut écrire et donc ici tend vers . La question est la suivante : ici on a presque la croissance comparée . Ici est-ce que je peux directement conclure que tend vers 0, même si le "x" n'est pas le même en haut et en bas, ou alors est-ce que je suis obligé de faire un changement de variable pour me ramener précisément à la croissance comparée usuelle. Car j'ai l'impression que même si on n'a pas exactement la même forme, mais que les limites sont les mêmes, on pourra toujours se ramener à un changement de variable pour obtenir la même forme.
Merci d'avance.

[Rdvn]

Bonjour,
non précisé mais "implicite" : n entier , n>0 ? quelques remarques :

il est intéressant d'écrire
|(n+1 ).x^n|=(n+1).|x|^n
ainsi, deux cas :
x=0 (évident)
0<[x|<1 et dans ce cas ln|x|<0,
on peut écrire ce qui vous pose problème :
n.e^(n.ln|x|) =(1/ln|x|).n.ln|x|.e^(n.ln|x|)
Ceci vous aide-t-il ?

[Toto256]

Oui on a effectivement n un entier naturel. Pour le calcul de limite, effectivement il est judicieux de passer en valeur absolue. Non ce que je voulais dire concernait surtout le fait de se ramener à une croissance comparée.
Voyez-vous où je veux en venir dans mon premier message ?

[Ben314]

Salut,

Ici est-ce que je peux directement conclure que tend vers 0, même si le "x" n'est pas le même en haut et en bas, ou alors est-ce que je suis obligé de faire un changement de variable pour me ramener précisément à la croissance comparée usuelle. Car j'ai l'impression que même si on n'a pas exactement la même forme, mais que les limites sont les mêmes, on pourra toujours se ramener à un changement de variable pour obtenir la même forme.Merci d'avance.

Si c'est de ça dont tu parle, ben on risque pas d'en dire grand chose tant que tu ne donne pas de définition précise de ce que tu entend par "pas exactement la même forme".

Parce que, bien évidement, dans la fameuse limite , si tu remplace le premier par n'importe quoi qui tend vers ben tu peut obtenir... n'importe quoi comme limite :
- Si je remplace ce par (qui tend bien vers ), ben la limite maintenant c'est évidement -1 et plus 0.
- Si je remplace ce par (qui tend bien vers ), ben la limite maintenant c'est -oo et plus 0.

[Rdvn]

@Toto256

il me semble que j'avais compris votre question :
avec ce que j'ai déjà indiqué , il ne reste plus qu'à poser t = n.ln|x| pour pouvoir conclure.

Voyez aussi les remarques de Ben314 pour apprendre à mieux formuler vos questions.

A vous ...

[Toto256]

Ok donc pour utiliser une croissance comparée, les "x" doivent tous avoir la même expression (qui tendent toutes vers -infini) et pas des expressions différentes qui tendent toutes vers - infini

[Rdvn]

C'est ce que vous explique Ben314 dans les exemples qu'il vous donne.

En fait dans les théorèmes de croissances comparées, on a une seule variable, souvent notée x en cours
( dans votre exercice on pose t=n.ln|x[ , comme déjà indiqué , et on étudie la limite de t.e^t , pour t tendant vers -infini)

La variable tend vers +infini ou -infini ou 0 ou... selon le théorème utilisé
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... ar%C3%A9es

OK ?

[Toto256]

Oui tout à fait. En fait je posais cette question car dans la limite à calculer dans l'exercice, on avait -n en bas et n*ln(x) dans l'exponentielle (ils tendent tous deux vers - infini) et la limite est 0. Par conséquent je me disais que même si les "x" n'ont pas la même expression, la croissance comparée fonctionnait (ou du moins qu'on pourrait toujours faire un changement de variable pour se ramener à la croissance comparée), mais Ben donne un contre exemple. C'est bon pour moi.