Changement de base

[elvis77]

Bonjour,

J'ai une question que je n'arrive pas à résoudre depuis quelques jours.

Je me donne deux bases de à savoir : et
Soit le vecteur de coordonnées dans la base
Je veux écrire ce vecteur dans la base .

Deux manières : Je calcule la matrice de passage que je multiplie aux vecteurs et je trouve comme résultat (47/2,-21/2)
ou bien je résouds le système :

J'ai trouvé 23/2 et -9/2 donc ce ne sont pas les mêmes coordonnées qu'avec la matrice de passage, pourquoi ??

Merci,

Cordialement.

PS : tous les vecteurs sont écrits en colonne mais je ne connais pas le code pour le latex...

[Ben314]

Salut,
Parce que tu t'es gourré dans le calcul de la matrice de passage.
C'est quoi pour toi la matrice de passage ?
plus précisément, c'est celle de quelle base à quelle base ?
et surtout, ça permet de passer des coordonnées de quelle base à quelle base ?

[elvis77]

Salut,
Parce que tu t'es gourré dans le calcul de la matrice de passage.
C'est quoi pour toi la matrice de passage ?
plus précisément, c'est celle de quelle base à quelle base ?
et surtout, ça permet de passer des coordonnées de quelle base à quelle base ?

La matrice de passage est : j'exprime les vecteurs de la base B en fonction de ceux de la base B' et j'obtiens :

-8 3/2

4 -1/2

Sommes nous d'accord que la méthode "naive" sans passer par la matrice de passage est tout à fait juste ?

Merci pour votre réponse.

[Ben314]

Ben en fait non : je me suis gouré dans mon premier post (et je pense que tu as fait la même erreur pour calculer les coordonnées "de façon naïve") :
Ton vecteur u, il a pour coordonnées (-2,5) dans B donc en fait (-8,5) dans la base canonique de R² et, contrairement à ce que j'ai affirmé dans le précédent post, c'est ton calcul avec la matrice de passage qui est correct et pas celui "de façon naïve".

Désolé... :stupid_in

[elvis77]

Ben en fait non : je me suis gouré dans mon premier post (et je pense que tu as fait la même erreur pour calculer les coordonnées "de façon naïve") :
Ton vecteur u, il a pour coordonnées (-2,5) dans B donc en fait (-8,5) dans la base canonique de R² et, contrairement à ce que j'ai affirmé dans le précédent post, c'est ton calcul avec la matrice de passage qui est correct et pas celui "de façon naïve".

Désolé... :stupid_in

ça me rassure dans mon calcul de la matrice de passage
Pourquoi la façon naive est fausse alors qu'on nous apprend que pour passer de la base canonique à une autre base, il faut faire ça ?

[Ben314]

Parce que, si on note v1 et v2 les vecteurs de la base B', pour trouver les coordonnées de u dans B', il faut effectivement chercher a et b tels que u=a.v1+b.v2, mais que, si tu transcrit cette égalité vectorielle en égalité de coordonnées, il faut évidement que tu exprime tout dans la même base.
Donc si, comme tu le fait, tu exprime v1 et v2 en disant que c'est (1,2) et (3,4), ça veut dire que tu prend leurs coordonnées dans la base canonique et qu'il faut dans ce cas prendre aussi les coordonnées de u dans la base canonique pour "traduire" le u=a.v1+b.v2 en terme de couples de réels.

Bilan : il faut résoudre (-8,5)=a(1,2)+b(3,4) vu que les coordonnées de u dans la base canonique sont -2(0,4)+5(1,0)

P.S. et, justement, ici tu ne veut pas passer de la base canonique à une autre base, mais d'une base B (différente de la base canonique) à une base B' (elle aussi différente de la base canonique)

[elvis77]

Ok, je viens de comprendre, finalement la méthode "naive" (pour résumer) serait de dire :

On cherche a et b tels que

-2*(4,0)+5*(0,1)=a*(1,2)+b*(3,4)

ce qui est dit implicitement quand on part de la base canonique.

Quelque part, on passe toujours pas la base canonique (mais implicitement)

Un grand merci pour ton aide!

[Ben314]

Ok, je viens de comprendre, finalement la méthode "naive" (pour résumer) serait de dire :

On cherche a et b tels que

-2*(4,0)+5*(0,1)=a*(1,2)+b*(3,4)

ce qui est dit implicitement quand on part de la base canonique.

Quelque part, on passe toujours pas la base canonique (mais implicitement)

Un grand merci pour ton aide!

C'est exactement ça.