Algèbre linéaire - matrice et changement de base.

[Linea]

Bonjour à tous,

Voici l’exercice que je vous propose en ce joyeux Dimanche ! ;p

Soit E un espace vectoriel de R donc une base est B= (e1, e2, e3). Considérons l’application linéaire u appartenant à L(E,E) définie par :
u( xe1 + ye2 + ze3) = (x+2z)e1 + (3y+2z)e2 + (x-2y+2z)e3.

1) Ecrire la matrice A de u dans la base B.

J’ai trouvé : A= (1,0,1) ; (0,2,-2) ; (2,2,2)
Où ces 3 vecteurs sont disposés en colonne… Je pense que c’est bon.

2) Montrer que B’= (e1-e3, e2, e1+e3) est une base de E.
Exprimer u(xe1 + ye2 + ze3) dans la base B’. En déduire la matrice M de u dans la base B’.

Alors là je suis complètement perdue. Je n’arrive même pas à répondre à la première question c’est pour dire… ^^ alors je demande votre aide de tout coeur !!!

Merci d’avance !

[XENSECP]

bah pour le début de ta question, il suffit de prouver que c'est une famille libre (famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 = base de cet espace) donc il suffit de calculer det(B') dans la base canonique (B) et montrer que c'est ... (je te laisse réfléchir quand même)

Ensuite, ba tu as plusieurs façon de voir le problème, soit par calculs matriciels, soit de façon "empiriques" en exprimant tes anciens vecteurs en fonction des nouveaux...

[Linea]

Oui, je sais bien que pour que cela soit une base il faut que cela soit à la fois une famille libre et génératrice... Mais je n'arrive pas à exprimer B' sous forme d'une matrice... car j'avais pensé ensuite voir si ses vecteurs étaient indépendants en la mettant sous forme échelon ? ^^ why not ? :euh:

Et êtes-vous sûr qu'on doit forcément passer par les déterminants car cet exercice concerne à priori seulement le chapitre sur les applications linéaires et matrices ? (nous débutons juste le chapitre sur le déterminant à l'heure actuel... :hein: )

Bon, alé je vais quand même aller manger un peu mwâ pour reprendre des forces ! lol ;-)

[XENSECP]

ba avec le déterminant c'est extrémement plus rapide mais bon tu peux faire la méthode longue qui consiste à dire que :

u1,u2,u3 forme une famille libre <=> il existe (a,b,c) dans R tels que a*u1+b*u2+c*u3=0 => (a,b,c)=(0,0,0)

enfin il y a une autre méthode mais ça touche plus ou moins au dét donc bon le plus simple reste de passer par la définition :-)

[Linea]

Oulà... pas du tout compris pourquoi tu utilisais des u1, u2... ?
Et avec les déterminants cela donnerait quoi ?

Enfin si quelqu'un peut me dire comment on prouve que c'est libre et génératrice... erf... il doit bien falloir le mettre sous forme de matrice, non ? :hum:

Enfin bon... allez, je retourne cravacher ! :p

[NICO 97]

1) Ecrire la matrice A de u dans la base B.
J’ai trouvé : A= (1,0,1) ; (0,2,-2) ; (2,2,2)
Où ces 3 vecteurs sont disposés en colonne… Je pense que c’est bon.

Moi, je pense pas, puisque j'ai trouvé : A= (1,0,1) ; (2,3,-2) ; (0,2,2)

[NICO 97]

Oulà... pas du tout compris pourquoi tu utilisais des u1, u2... ?

On peu, si tu le préféres, poser :
B=(e1,e2,e3) , U(e1)=u2, U(e2)=u1 , U(e3)=u3
B'=(e1',e2',e3') , U(e1')=u2', U(e2')=u1' , U(e3')=u3'
B est donné
Il faut calculer u1,u2,u3 avec l'expresion de u(x,y,z)
Puis écrire u1,u2,u3 en fonction de e1,e2,e3
Puis calculer B' et u1',u2',u3' avec l'expresion de u(x,y,z)
Puis écrire u1',u2',u3' en fonction de e1',e2',e3'

Pour ce qui concerne la liberté, comme tu as une expression numérique de tes vecteurs, tu peux te contenter de constater la non-colinéarité entre eux.

[Linea]

Non très franchement je ne vois toujours pas où vous voulez en venir…
Je comprends bien qu’il faut exprimer les vecteurs de B’ en fonction de u(xe1+xe2+xe3) c’est la question… mais je ne sais ni comment faire et ni comment débuter pour prouver que B’ est une base de E.
Je vous rappelle que B’ = (e1-e3 ; e2 ; e1+e3).
[ car je n’ai pas compris pourquoi vous avez renommé B'=(e1',e2',e3') , U(e1')=u2', U(e2')=u1' , U(e3')=u3' … e1’=e1-e3 alors ? enfin ça change en rien mon problème… ]
Peut-on exprimer B’ sous forme matriciel ? Si oui, comment faire, qu’est-ce que ça donne ?

Bref, j’ai sans doute rien compris ! :triste:

Et excusez-moi pour la matrice A, si si j’ai bon cela concorde [ au moins une chose de juste ! erf ! ] … c’est juste que je m’étais trompée en réécrivant l’énoncé dans le post : un « y » à la place d’un « z » c’était glissé ! ( je l’ai corrigé ).

Merci encore pour votre aide (et votre patience… ! ).

[NICO 97]

Il faut bien voir que:
U(x,y,z)=(x+2z,3y+2z,x-2y+2z)
Cette façon d'écrire est plus claire.
e1'=e1-e2=(1,0,1)
e2'=e2=(0,1,0)
e3'=e1+e3=(1,0,0)
C'est 3 vecteurs sont non-colinéaires entre eux donc ils sont libresn et comme le dimension de R3 c'est 3, ils forment un base.
U1'=(1,-3,3) U2'=(0,3,-2) U3'=(3,2,3) dans B
U1'=3e1'+3e2'-2e3'=(3,3,-2) dans B'
Calcul de même U2' et U3' dans B' et tu as alors la matrice de U dans B'

[Linea]

Okay Nico_97 je pense avoir beaucoup mieux compris, merci beaucoup !
Mais cependant n’aurais-tu pas fait une ‘tite erreur en posant que e1’= e1 - e2 ?
Ne serait-ce pas plutôt e1’=e1-e3 = (1,0,-1) et tu obtiendrais alors u(e1’)= -e1’ - 2e’2 - e3’ ?
Idem pour e3’= e1+e3 = (1,0,1) plutôt non ? Par-contre tu obtiens bien le même u(e3’) que moi, c’est-à-dire : u(e3’)= 3e’1 + 2e’2 + 3e’3 donc c’était peut-être une erreur de frappe

Donc si nous résumons :
u(e1’)= -e1’ - 2e’2 - e3’
u(e2’)= 3e’2 – 2e’3
u(e3’)= 3e’1 + 2e’2 + 3e’3

Donc nous obtenons la matrice de u dans la base B’ : M= (-1, -2, -1) ; (0,3,-2) ; (3,2,3) … disposés en colonne…
C’est bien ça ?

Par-contre, pour formuler le nouvel u(x,y,z) dans la base B’, on écrit tout simplement que c’est :
u(v) = (x+2z)(e1-e3) + (3y+2z)(e2) + (x-2y+2z)(e1+e3)
soit u(v) = (x+2z)(e1’) + (3y+2z)(e2’) +(x-2y+2z)(e3’)

( avec v = xe1 + ye2 + ze3 … )

Ou pas ?

Cependant voici la suite de l’énoncé : Donner la matrice P de passage de la base B à la base B’ et vérifier le résultat de la question précédente en appliquant la formule de changement de base obtenue pour le cas particulier d’un endomorphisme.

Alors moi, je raisonne comme cela : puisque B est la base canonique, on peut écrire directement les vecteurs de B’ comme combinaison linéaire de ceux de B. [ ce qui est en fait fait dans l’énoncé ! ]

e1’ = e1-e3 = (1,0,-1)
e2’= e2 = (0,1,0)
e3’= e1+e3 = (1,0,1)

d’où la matrice P= (1,0,-1) ; (0,1,0) ; (1,0,1) … disposés en colonne.

Puis pour répondre à la deuxième partie de la question : comme A et M sont les matrices respectivement sur B et B’, alors on a : M= P(-1)AP
[ où P(-1) c’est l’inverse de P en fait… c’est un peu mal écris comme ça mais bon… lol ]

Donc logiquement on devrait retrouver le même résultat que plus haut, … le but de la question… ^^ mais moi je ne retrouve pas du tout ça, voyez plutôt :
Je trouve un M= (0,-2,2) ; (2,3,-2) ; (0,2,6)
… donc j’ai fait une erreur… de raisonnement ? :hum:

Si quelqu’un pouvait me corriger ! Encore une fois… merci ! :happy2:

[Linea]

Ah, je viens de voir que je me suis trompée ! Au lieu de prendre l’inverse de P, j’ai pris sa transposée ! Screugneugneu… :doh:

Donc en fait j’ai trouvé comme inverse P(-1) = (1/2, 0, 1/2 ) ; (0,1,0) ; (-1/2 , 0, 1/2 ) … disposés en colonne.

Mais j’ai toujours le même problème, je ne retrouve pas ma matrice M, en appliquant : M=P(-1)AP
Je trouve une matrice M= (0, -2, -1) ; (1,3,-1) ; (0,2,3) …. disposés en colonne.

:briques: Ouaiiiiin ! Quelqu'un peut m'aider ? snif...

[NICO 97]

Okay Nico_97 je pense avoir beaucoup mieux compris, merci beaucoup !
Mais cependant n’aurais-tu pas fait une ‘tite erreur en posant que e1’= e1 - e2 ?

C'est ce qui est écrit dans le premier post.

[Linea]

Ok, vi je me suis trompée dans l'énoncé... :marteau:
Bon cette fois-ci c'est bon.
Mais par-contre ce que j'avais écris dans ma démarche/raisonnement je l'ai fait en fonction du bon énoncé hein... donc je suis toujours autant coincée...
:triste:
Quelqu'un ?

[Linea]

:triste: ?

[NICO 97]

Donc si nous résumons :
u(e1’)= -e1’ - 2e’2 - e3’
u(e2’)= 3e’2 – 2e’3
u(e3’)= 3e’1 + 2e’2 + 3e’3

Donc nous obtenons la matrice de u dans la base B’ : M= (-1, -2, -1) ; (0,3,-2) ; (3,2,3) … disposés en colonne…
C’est bien ça ?

C'est bon , c'est la base B' écrite dans la base B , ce qui donnera directement Pass(B,B') la matrice de passage de B vers B' (le sens de "vers" n'étant que conventionelle, seule importe la formule globale)

Par-contre, pour formuler le nouvel u(x,y,z) dans la base B’, on écrit tout simplement que c’est :
u(v) = (x+2z)(e1-e3) + (3y+2z)(e2) + (x-2y+2z)(e1+e3)
soit u(v) = (x+2z)(e1’) + (3y+2z)(e2’) +(x-2y+2z)(e3’)

( avec v = xe1 + ye2 + ze3 … )

Ou pas ?

La non .
La définition de U c'est U(x,y,z)=(x+2z,3y+2z,x-2y+2z) point.
Les e1,e2, e3 ne sont la que pour embrouiller, je pense. En tout cas tu n'as pas le droit de moifier la définition de U.

[NICO 97]

La, on a: u1=0e1'-2e2'-e3' donc u1 s'écrit (0,-2,-1) dans B'
Il faut faire pareil pour u2, u3, et ainsi obtenir la matrice de U dans B'

[Linea]

Alors là Nico_97 tu m’as achevée… lol
Tu me dis que c’est bon mon « M » mais je ne comprends pas à quoi il correspond… parce qu’apparement ce n’est pas la matrice de u dans la base B’… Ce n’est pas la matrice de passage non plus… je l’ai faite plus loin dans ma démonstration… ah en fait si, - je relis – cela serait en fait la matrice u’ dans la base B’, c’est ça ? Je suis un peu perdue là…
Et nous on veut la matrice u dans la base B’…

Mais comment trouves-tu cela alors : u1=0e1'-2e2'-e3' ???
J’ai beau cherché et je ne comprends vraiment pas… si tu pouvais un peu plus détailler tes calculs histoire que je comprenne définitivement et arrive à résoudre ce problème entièrement, explique moi ce que tu as utilisé, qu’as-tu posé comme x,y et z etc… pour u1’, u2’, u3’ en fonction de e1’e2’,e3’ j’y étais arrivée… mais là je ne vois pas !

Merci d’avance pour ta réponse !!

[NICO 97]

Oui, pardon, je t'ai dit que ta matrice M était juste, mais en fait il y a une erreur.
Je refais le calcul et je t'explique ca clairement.

[NICO 97]

Je suis un peu pressé, mais regarde,
U(x,y,z)=(x+2z,3y+2z,x-2y+2z) c'est fixé
Alors tu peux vérifer qu'on a:
u(e1’)= -e1- 2e2 - e3 = (-1,-2,-1) ds B =0e1'-2e2'-1e3'=(O,-2,-1) dans B'
u(e2’)= 3e2 – 2e3 = (0,3,-2) ds B=1e1'+3e2'-1e3'=(1,3,-1) dans B'
u(e3’)= 3e1 + 2e2 + 3e3 = (3,2,3) ds B=0e1'+2e2'+3e3'=(O,2,3) dans B'

[Linea]

Non, tu n’as toujours rien détaillé…

J’avais déjà trouvé l’expression de u(e1’) en fonction de e1, e2, e3 !!!
Et pour cela, par exemple pour u(e1’), j’avais pris :
x=1, y=0 et z=-1 [ qui sont les coordonnées du vecteur e1’=e1-e3, on est d’accord ? ]. Ce qui, en remplaçant dans l’expression de u, me donnait : u(e1’) = -e1- 2e2 - e3 = (-1,-2,-1) dans B. Ca je suis d’accord depuis longtemps.
Mais je ne vois pas le lien entre le u(e1’) et e1’,e2’ et e3’. Réutilises-tu la matrice de u dans B que tu as trouvé ?
Quels x,y,z prends-tu ? Je te demande de détailler ton calcul sinon je ne vais pas y arriver.
Il nous faudrait bien une nouvelle définition de u pourtant ?! Car une des questions de l’énoncé (cf. 1er post) disait : Exprimer u(xe1 + ye2 + ze3) dans la base B’.


Enfin bref, je ne comprend pas.

Par-contre, en utilisant la matrice de passage qui va de B à B’, je retrouve bien ton résultat, mais je ne pense pas que cela comme ça que tu es résolu le problème car ça c’est plutôt la 3ème question…
:hum: