"Cardinal" de l'ensemble des matrices inversibles de Mn(C)

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Lemniscate
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"Cardinal" de l'ensemble des matrices inversibles de Mn(C)

par Lemniscate » 09 Fév 2009, 16:04

Bonjour,

Si l'on définit le cardinal d'un ensemble E par la relation d'équivalence :
(E et F ont même cardinal) ssi (E est en bijection avec F)

Ainsi tout ensemble dénombrable est en bijection avec .

J'aimerais savoir, par exemple, quel est le cardinal de ( groupe des matrices inversibles de ) et de son complémentaire...

Par exemple si n supérieur à 3, il est clair qu'il y a "plus" d'éléments non inversibles que d'éléments inversibles car pour toute matrice inversible, si je lui met alternativement 1 colonne de "zéros" j'obtiens 3 matrices non inversibles (pas forcément distinctes ?).
Mais l'ensemble des matrices inversible et celui des matrices non inversibles peuvent être en bijection.... (le sont-ils ?)
Un peu comme Z et N ils sont en bijections alors qu'il y a "plus" d'entiers relatifs que d'entiers naturels !

Autre question : Je sais qu'il existe la classe de N (pour la relation d'équivalence précédente) et la classe de R. (je crois qu'on les note et ?). Y'en a-t-il d'autres ? (les notations "" peuvent le laisser supposer...)

Merci d'avance pour vos réponses.

A bientôt.



legeniedesalpages
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par legeniedesalpages » 09 Fév 2009, 17:15

Bonjour,

Lemniscate a écrit:Si l'on définit le cardinal d'un ensemble E par la relation d'équivalence :
(E et F ont même cardinal) ssi (E est en bijection avec F)


On ne peut pas vraiment appeler ça une relation d'équivalence.

Lemniscate a écrit:J'aimerais savoir, par exemple, quel est le cardinal de ( groupe des matrices inversibles de ) et de son complémentaire...

Par exemple si n supérieur à 3, il est clair qu'il y a "plus" d'éléments non inversibles que d'éléments inversibles car pour toute matrice inversible, si je lui met alternativement 1 colonne de "zéros" j'obtiens 3 matrices non inversibles (pas forcément distinctes ?).
Mais l'ensemble des matrices inversible et celui des matrices non inversibles peuvent être en bijection.... (le sont-ils ?)
Un peu comme Z et N ils sont en bijections alors qu'il y a "plus" d'entiers relatifs que d'entiers naturels !


Ils me paraissent tous être en bijection les uns les autres. Je pense qu'on peut montrer qu'ils sont en biection avec IR à l'aide de Cantor-Bernstein.

Autre question : Je sais qu'il existe la classe de N (pour la relation d'équivalence précédente) et la classe de R. (je crois qu'on les note et ?). Y'en a-t-il d'autres ? (les notations "" peuvent le laisser supposer...)


E et P(E) ne sont jamais équipotents (théorème de Cantor). Donc on peut construire d'autres "classes".

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
Enregistré le: 10 Oct 2007, 19:40

par ThSQ » 09 Fév 2009, 20:54

Lemniscate a écrit:Bonjour,

Si l'on définit le cardinal d'un ensemble E par la relation d'équivalence :
(E et F ont même cardinal) ssi (E est en bijection avec F)

Ainsi tout ensemble dénombrable est en bijection avec .

J'aimerais savoir, par exemple, quel est le cardinal de ( groupe des matrices inversibles de ) et de son complémentaire...

Par exemple si n supérieur à 3, il est clair qu'il y a "plus" d'éléments non inversibles que d'éléments inversibles car pour toute matrice inversible, si je lui met alternativement 1 colonne de "zéros" j'obtiens 3 matrices non inversibles (pas forcément distinctes ?).
Mais l'ensemble des matrices inversible et celui des matrices non inversibles peuvent être en bijection.... (le sont-ils ?)
Un peu comme Z et N ils sont en bijections alors qu'il y a "plus" d'entiers relatifs que d'entiers naturels !

Autre question : Je sais qu'il existe la classe de N (pour la relation d'équivalence précédente) et la classe de R. (je crois qu'on les note et ?). Y'en a-t-il d'autres ? (les notations "" peuvent le laisser supposer...)

Merci d'avance pour vos réponses.

A bientôt.


GL_n(C) contient les matrice a*I avec a != 0 donc il est au moins de la taille de C*: |C*|=|C| <= |GL_n(C)| <= |C^(n^2)| = |C| (d'où ça dans ZF au passage ;)).
Pareil pour les non inversibles.

C'est bien une relation d'équivalence. Par contre ça s'appelle l'hypothèse du continu :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cardinal

 

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