Boules

[capitaine nuggets]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour démontrer une proposition à partir d'un définition, merci.

J'ai la définition suivante :
- Soient un espace métrique, et .
On appelle boule ouverte de centrée en et de rayon , et on note , l'ensemble défini par .

Je commence par montrer le sens direct.
Soit un ouvert de .
est un sous-ensemble ouvert de donc il peut s'écrire comme une réunion de boules ouvertes i.e. où désigne l'ensemble des boules de centre et de rayon strictement positif.
En particulier, il existe tel que .
Donc .

Ai-je bon ?

Par contre, je n'arrive pas à montre le sens indirect.


Merci d'avance pour votre aide :++:

[adrien69]

C'est plein de non-sens logiques/mathématiques, mais ça se comprend si tu as essayé de tout faire formellement. Un petit conseil qui te sauvera sûrement. Fais un dessin. Après ça ira tout seul.

[L.A.]

Bonjour.

où B_E(x) désigne l'ensemble des boules de centre x et de rayon strictement positif.
En particulier, il existe x\in U tel que U\subset B_E(x)

Ceci n'a aucun sens.

Bizarre, c'est plutôt le sens indirect qui ne pose pas de problème à ce que tu dis...

[capitaine nuggets]

C'est plein de non-sens logiques/mathématiques, mais ça se comprend si tu as essayé de tout faire formellement. Un petit conseil qui te sauvera sûrement. Fais un dessin. Après ça ira tout seul.

Où ai-je commis des non-sens ?
Désolé, mais j'ai du mal à réécrire mathématiquement ce qu'on me demande.

Pour ce qui du dessin, je pense avoir compris, c'est de le prouver qui m'échappe un peu.

Bonjour.


Ceci n'a aucun sens.

Bizarre, c'est plutôt le sens indirect qui ne pose pas de problème à ce que tu dis...

Comment le réécrire alors ?

Pourriez-vous alors me guider pour une démonstration, aussi bien direct que indirect ?

[adrien69]

est un sous-ensemble ouvert de donc il peut s'écrire comme une réunion de boules ouvertes i.e. où désigne l'ensemble des boules de centre et de rayon strictement positif.

Le pire c'est ici. Le reste des erreurs en découle directement.
Essaie de voir ce qui cloche dans ta reformulation mathématique.

[L.A.]

Par exemple, tu as écrit que B_E(x) est un "ensemble de boules". Si on suit mot pour mot, alors U qui est leur réunion est aussi un "ensemble de boules", or à la base U est plutôt un "ensemble de points".

Ensuite tu écris que U est "inclus dans l'un des B_E(x) pour un certain x". D'une part, je ne vois pas comment tu peux déduire ça du fait que U serait "inclus dans la réunion des B_E(x)". D'autre part, sous-entends-tu que l'ouvert U tout entier est inclus dans une seule boule, ce qui serait faux en grande généralité ?

Bref, ta démo n'a absolument aucun sens, et je n'entrevois même pas ce que tu as voulu dire.

Pour le sens indirect, l'assertion à droite dit que U contient une certaine réunion de boules. Tu peux chercher à montrer que cette inclusion est une égalité.

[adrien69]

Ensuite tu écris que U est "inclus dans l'un des B_E(x) pour un certain x". D'une part, je ne vois pas comment tu peux déduire ça du fait que U serait "inclus dans la réunion des B_E(x)". D'autre part, sous-entends-tu que l'ouvert U tout entier est inclus dans une seule boule, ce qui serait faux en grande généralité ?

Là je comprends très bien le problème, il a appliqué un réflexe du signe au signe . C'est toujours une mauvaise idée en soit...

Par contre mon cher captain' nuggets, cette démo est dans tous les bons (et même mauvais) livres de L2/MP/PC/PSI de maths. Pourquoi tu t'embêtes à la faire ??

[L.A.]

Là je comprends très bien le problème, il a appliqué un réflexe du signe au signe

Oui, il y a manifestement de ça, mais même une fois passé outre son idée de base reste obscure...

Quand tu écris une réunion sur j'ai l'impression que tu pars plutôt de la droite. D'ailleurs pour moi la définition d'ouvert serait plutôt l'assertion de droite.

Moi je trouve que c'est plutôt un bon exercice, c'est le genre de micro-raisonnement qu'il faut savoir faire sur le bout des doigts en topologie. Peut-être que tu ne vois pas trop le problème, dans ce cas je te conseille de montrer que "toute boule ouverte est un ouvert", ce qui n'est pas aussi évident qu'il y paraît.

[deltab]

Bonjour.

@capitaine nuggets

Sens indirect () c'est le plus simple à monter.

Si , on a alors (la double inclusion est aisée à montrer) et U est bien un ouvert.

Sens direct ( ).

Si U est un ouvert, U est réunion de boules ouvertes, et si , il existe tel que mais x n'est pas nécessairement le centre de la boule et c'est pour ça qu'on doit démontrer qu'une boule ouverte est un ouvert.

Je te rappelle ce qu'a di L.A:

je te conseille de montrer que "toute boule ouverte est un ouvert", ce qui n'est pas aussi évident qu'il y paraît.

[capitaine nuggets]

Peut-être que tu ne vois pas trop le problème, dans ce cas je te conseille de montrer que "toute boule ouverte est un ouvert", ce qui n'est pas aussi évident qu'il y paraît.

Ca y est, c'est fait, j'ai montré que pour tout x d'une certaine boule, il existe une autre boule incluse dans cette boule.

Merci pour votre aide à tous !

J'aurais une question plus, "pratique" :
Comment montrer que est un ouvert de

[capitaine nuggets]

J'aurais une question plus, "pratique" :
Comment montrer que est un ouvert de

Je propose une solution à mon problème :

Je note .
Par définition, est un ouvert de si et seulement si, quel que soit , tel que .

Soit alors ; considérons la boule où .

Avant toute chose, .
Soit , montrons qu'alors .
En considérant l'espace métrique , on a :

.

Après quelque calculs, on arrive à , donc et par suite, donc est un ouvert de .


Juste deux questions :
1°) Avec mes notations, a-t-on :

.

2°) Existerait-il une autre méthode pour montrer que est un ouvert de ?

Merci d'avance :+++:

[deltab]

Bonjour.

1°) Avec mes notations, a-t-on :

.

Si , on a alors (l[B]a double inclusion est aisée à montrer[/B]) et U est bien un ouvert.

Dans mon précédent message, j'avais écrit: la double inclusion est aisée à montrer. mais je ne l'avais pas fait.



si , alors et

2°) Existerait-il une autre méthode pour montrer que est un ouvert de ?

On peut utiliser la topologie produit de 2 espaces métriques.
Un intervalle ouvert est un ouvert de l'espace métrique où d est la distance induite par la valeur absolue, donc le produit de 2 intervalles ouverts de \mathbb{R} est donc un ouvert de muni de norme euclidienne.

[adrien69]

]0,1[x]0,1[ est une boule ouverte dans R² muni de la norme uniforme+équivalence des normes.

[capitaine nuggets]

]0,1[x]0,1[ est une boule ouverte dans R² muni de la norme uniforme+équivalence des normes.

Heu, quand tu parles de norme uniforme, tu veux parler de ?

[adrien69]

Heu, quand tu parles de norme uniforme, tu veux parler de ?

Ouep, désolé, c'est la même en analyse fonctionnelle, j'ai confondu les noms. (remarque dans un sens ça uniformise le rôle des variables)