Tirages sans remise de n boules

[gasperine]

Bonjour,
Novice sur le site...alors voilà: un exo de prépa HEC
"une urne contient n boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à n. On les tire toutes une à une sans remise.On dit qu'il y a coïncidence au rang k si le numéro de la kième boule tirée est k.
X est la VARD = nombre de coïncidences. Sans déterminer la loi de X calculer l'espérance et la variance de X"
et là c'est la grande solitude! je ne sais par quel bout le prendre!!
j'ai pensé à E(X) = somme P(X>=i) pour i de 1 à n mais...
Un peu (euh...bcp même..) d'aide serait la bienvenue
merci d'avance.

[beagle]

Pour la moyenne:
Si tu prends un tableau de toutes les permutations
tu regardes en somme horizontale le nombre de bien placés, cela va varier
et cela doit ètre calculable, mais bon,...
Mais ce tableau si tu le regardes par les sommes en colonnes, tu trouveras une constante de bien placés, ce qui est déjà bien plus agréable, cette constante à multiplier par le nombre de colonnes est la somme totale des coincidences,
à diviser par le nombre de permutations donnera la moyenne.

123=3
132=1
213=1
231=0
312=0
321=1

somme en horizontale= ....
et encore plus fastoche somme en vertical des colonnes = ...

à rapprocher de 1/n + 1/n + 1/n +...= n x 1/n

[gasperine]

Bonsoir Beagle
Merci pour ta réponse. Ca m ' a permis de comprendre l'exo.et que E(X)=1
par contre je n'ai pas très bien compris l'histoire du tableau...surtout pour n boules...en fait je ne sais pas le construire....mais j'ai eu une idée: en prenant Xi la vard qui vaut 1 si la kième boule tirée porte le numéro k et 0 sinon.On a alors E(Xi)=1/n et ensuite X=somme des Xi et on utilise la linéarité de l'espérance.
Qu'en penses-tu?
merci

[beagle]

Bonsoir gasperine,
il faut d'abord te dire que je suis out of compétence sur le forum supérieur.
Je comprends limite les termes mathématiques qui sont utilisés.
J'ai répondu parce que j'aime bien ce sujet, et que je peux jouer avec, mème avec de petits moyens.
QS le tableau, c'est marrant.

Mais cela a une limite,
je ne sais pas formuler mathématiquement.

Sur ce que je comprends de ta réponse, je dirais oui, cela semble ètre ma méthode numéro 2, en mieux dit.
Mais je suis à un niveau intuitif de compréhension de ta réponse.
J'espère que des plus matheux de formation, te repondront.

[beagle]

Pour le tableau, juste pour le fun:
il y a dans chaque colonne (n-1)! bien placés
il y a n colonnes
donc total point est (n-1)!xn = n!

et il y a n! permutations (rangées)
donc en moyenne n!/n!=1

[gasperine]

bonjour Beagle,
En tout cas merci pour ton aide. elle m'a permis d'avancer et c'est le principal!