Somme de boules

[cendrillon]

Bonsoir,
J'essaie de démontrer cette égalité :
B(x,r)+B(x',r')=B(x+x',r+r')

Je pense avoir réussi à montrer l'inclusion suivante :
B(x,r)+B(x',r') inclus dans B(x+x',r+r')

En revanche je coince pour l'inclusion inverse :s

Pourriez vous me donner une piste pour la dernière inclusion!
Merci d'avance. :we:

[girdav]

Je suppose que l'on se place dans un espace vectoriel normé. On prend y dans le membre de droite et on écrit y=y-x+x.

[cendrillon]

Je ne comprends pas trop ce que tu veux faire...

[girdav]

En fait on peut écrire que B(x,r)=x+B(0,r), donc on peut se ramener au cas où x=x'=0. Maintenant, fais un dessin.

[arnaud32]

si tu prends z dans B(x,r)+B(x',r') z= a + a' = x+(a-x) + x' + (a'-x') = (x+x') + ((a-x) + (a'-x'))
reciproquement
pour z dans B(x+x',r+r')
z = x+x'+a
tu notes b= r/(r+r')a et b'=r'/(r+r')a
z = (x + b) + (x'+b')

[cendrillon]

Et comment je conclus ?
Comment je démontre que x+b appartient à B(x,r) et x'+b' appartient à B(x',r') ?

[arnaud32]

ca veut dire quoi etre ds une boule de centre x et de rayon r?

[cendrillon]

norme de (b-x) < ou = r

[arnaud32]

non c'est x+b qui doit etre dans la boule donc ||x+b - x||or ||b|| = r/(r+r')||a || et ||a||

[cendrillon]

Pourquoi peut on dire que norme(b)Ce n'est pas la chose qu'il faut justement montrer?

[arnaud32]

je crois que l'on s'est mal compris:
tu veux monter que non c'est x+b qui doit etre dans la boule donc ||x+b - x||
||b|| = r/(r+r')||a || et ||a||et donc ||b||