Base de Rn[X] (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

la question suivante me pose problème :
étant donnés P un polynôme de Rn[X] de degré n, et n+1 scalaires
a0,a1,..,an, tous distincts, montrer que la famille (P(X+ai))0<=i<=n est
une base de Rn[X].
Je souhaiterais résoudre cet exercice en utilisant des arguments
élementaires, notamment sans utiliser les déterminants.

J'ai essayé de procéder par récurrence : on veut montrer la propriété au
rang (n+1) :
Sum( li * P(X+ai) ,i=0..n+1) = 0
l_n+1 * P(X+a_n+1) + Sum( li * P(X+ai) ,i=0..n) = 0

pour le terme de degré (n+1) l_n+1 = - Sum (li, i=0..n)
donc en ajoutant 0 = - l_n+1 * X^n+1 - Sum(li, i=0..n) * X^n+1 on
obtient :
l_n+1 * [ P(X+a_n+1)-X^n+1 ] + Sum( li * (P(X+ai) - X^n+1) ,i=0..n) = 0
ici j'ai deux polynômes de degré =< n, mais je ne sais pas si cela va
quelque part


Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.


--
albert

[Anonyme]

j'avais déjà posté une réponse a cette question il y a un certains temps sur
un forum je te fait un copié collé de ce que j'ai mis, je ne garantie pas
que c'est juste ...

On considere l'hypothese de récurrence Hn : "pour tout (n+1)-uplet
(a0,...,an) de K^(n+1) avec les ai distincts 2 à 2 on a pour tout polynôme P
de degré n que la famille (P(x+a1),...,(P(x+an)) est une base de Kn[X] "

On vérifie aisement H0.
On suppose H(n-1) vraie pour n fixé
On se donne un (n+1)-uplet de K^n (a0,..,an) avec les ai distincts 2 à 2 et
un polynôme P de degré n. Et la famille ( P(x+a0),...,P(x+an))
On peut supooser quitte à reindexer les ai qu'ils sont classés par ordre
décroissant : a1>a2>...>an
On a alors d'après le Taf P(x+a1)-P(x+a2)=(a1-a2)P'(c1) où c1 est compris
strictement entre x+a2 et x+a1 donc c=x+a'1
et P' est de degré (n-1)
On peut recommencer ce même raisonnement avec les differents ai a(i+1).
on a donc que la famille (P'(x+a'1),...,P'(x+a'(n-1)) verifie les hypoyhèse
de H(n-1) ( les a'i sont bien distincts ) c'est donc une base de Kn-1[X].

Donc (P(x+a1)-P(x+a2),..,P(x+a(n-1))-P(x+an)) est une base de Kn-1[X].
Donc finalement Kn-1[x] est inclus dans l'espace engendré pas la famille (
P(x+a1),...,P(x+an)) et comme P(x+a1) est de degré n on a finalement que
Kn[X] est inclus dans l'espace engendré par la famille et par raison de
dimension la famille est bien une base de Kn[X] ce qui prouve l'hérédité.

je te laisse vérifier si c'est correct, bon courage

[Anonyme]

garfield wrote:
> j'avais déjà posté une réponse a cette question il y a un certains temps sur
> un forum je te fait un copié collé de ce que j'ai mis, je ne garantie pas
> que c'est juste ...

[...]

> je te laisse vérifier si c'est correct, bon courage

En tout cas je n'ai pas vu d'erreurs
C'est très bien , merci beaucoup !


--
albert

[Anonyme]

"garfield" a écrit dans le message de news:
42585487$0$15279$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> j'avais déjà posté une réponse a cette question il y a un certains
> temps sur
> un forum je te fait un copié collé de ce que j'ai mis, je ne garantie
> pas
> que c'est juste ...
>
> On considere l'hypothese de récurrence Hn : "pour tout (n+1)-uplet
> (a0,...,an) de K^(n+1) avec les ai distincts 2 à 2 on a pour tout
> polynôme P
> de degré n que la famille (P(x+a1),...,(P(x+an)) est une base de Kn[X]
> "
>
> On vérifie aisement H0.
> On suppose H(n-1) vraie pour n fixé
> On se donne un (n+1)-uplet de K^n (a0,..,an) avec les ai distincts 2 à
> 2 et
> un polynôme P de degré n. Et la famille ( P(x+a0),...,P(x+an))
> On peut supooser quitte à reindexer les ai qu'ils sont classés par
> ordre
> décroissant : a1>a2>...>an
> On a alors d'après le Taf P(x+a1)-P(x+a2)=(a1-a2)P'(c1) où c1 est
> compris
> strictement entre x+a2 et x+a1 donc c=x+a'1
> et P' est de degré (n-1)
> On peut recommencer ce même raisonnement avec les differents ai
> a(i+1).
> on a donc que la famille (P'(x+a'1),...,P'(x+a'(n-1)) verifie les
> hypoyhèse
> de H(n-1) ( les a'i sont bien distincts ) c'est donc une base de
> Kn-1[X].
>

Je ne suis pas d'accord, car les a' dépendent de x.
Si par exemple P(x) = x^3, a1 = 1, a2 = 0 ,
P(x+a1) - P(x+a2) = (x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1
P'(x) = 3x^2
Mais il n'existe aucune constante a' telle que, pour tout x,
3x^2 + 3x + 1 = 3(x+a')^2 = 3x^2+6a'x +3a'^2

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Stéphane Ménart wrote:

> Je ne suis pas d'accord, car les a' dépendent de x.

En effet, tu as raison (malheureusement).

--
albert

[Anonyme]

Je me permets de reposer mon problème, avec un petit détour par fsm. Le
suivi est positionné sur feem. Merci.


albert junior wrote:
> Bonjour,
>
> la question suivante me pose problème :
> étant donnés P un polynôme de Rn[X] de degré n, et n+1 scalaires
> a0,a1,..,an, tous distincts, montrer que la famille (P(X+ai))0 une base de Rn[X].
> Je souhaiterais résoudre cet exercice en utilisant des arguments
> élementaires, notamment sans utiliser les déterminants.
>
> J'ai essayé de procéder par récurrence : on veut montrer la propriété au
> rang (n+1) :
> Sum( li * P(X+ai) ,i=0..n+1) = 0
> l_n+1 * P(X+a_n+1) + Sum( li * P(X+ai) ,i=0..n) = 0
>
> pour le terme de degré (n+1) l_n+1 = - Sum (li, i=0..n)
> donc en ajoutant 0 = - l_n+1 * X^n+1 - Sum(li, i=0..n) * X^n+1 on
> obtient :
> l_n+1 * [ P(X+a_n+1)-X^n+1 ] + Sum( li * (P(X+ai) - X^n+1) ,i=0..n) = 0
> ici j'ai deux polynômes de degré = quelque part
>
>
> Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
>
>
--
albert

[Anonyme]

Bonjour,

Disons que l'on a une combinaison

sum_i li P(X+ai) = 0.

En derivant en X, on doit atteindre

sum_i li Q(a_i) = 0

pour tout polynome Q=X^k avec k<= n, donc pour tout
polynome de degre <= n. Choisir ensuite Q.

Si je ne me suis pas pris les pieds dans le tapis :-)
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Olivier wrote:
> Bonjour,
>
> Disons que l'on a une combinaison
>
> sum_i li P(X+ai) = 0.
>
> En derivant en X, on doit atteindre
>
> sum_i li Q(a_i) = 0
>
> pour tout polynome Q=X^k avec k polynome de degre
> Si je ne me suis pas pris les pieds dans le tapis

Je dois avouer que je ne comprends pas : que sont ces polynomes Q ?
Si je dérive la relation initiale j'obtient sum_i li P'(X+ai) = 0 (?)


--
albert

[Anonyme]

> Je dois avouer que je ne comprends pas : que sont ces polynomes Q ?
> Si je dérive la relation initiale j'obtient sum_i li P'(X+ai) = 0 (?)

Mais si tu derives n fois tu obtiens sum_i li = 0
n-1 fois ....... sum_i li ai = 0
etc. O.

[Anonyme]

Olivier wrote:[color=green]
>> Je dois avouer que je ne comprends pas : que sont ces polynomes Q ?
>> Si je dérive la relation initiale j'obtient sum_i li P'(X+ai) = 0 (?)
>
>
> Mais si tu derives n fois tu obtiens sum_i li = 0
> n-1 fois ....... sum_i li ai = 0
> etc. O.[/color]

Oui. Et ?
désolé suis je suis aveugle, mais ce ne me saute pas aux yeux

[Anonyme]

> Oui. Et ?
> désolé suis je suis aveugle, mais ce ne me saute pas aux yeux

Et sum_i li ai^k =0 pour k<= n.

Et sum_i li Q(ai) = 0 pour tout polynome Q de degre <= n.

Et penser aux polynomes d'interpolation de Lagrange.

Oui ?

[Anonyme]

Olivier wrote:

>
> Et sum_i li ai^k =0 pour k
> Et sum_i li Q(ai) = 0 pour tout polynome Q de degre
> Et penser aux polynomes d'interpolation de Lagrange.
>
> Oui ?
>
Je crois... on prend Qi le polynome d'interpolation de lagrange qui vaut
1 en ai et 0 ailleurs.

Merci bien pour tout cet aide !



--
albert

[Anonyme]

Olivier wrote:[color=green]
>> Oui. Et ?
>> désolé suis je suis aveugle, mais ce ne me saute pas aux yeux
>
>
> Et sum_i li ai^k =0 pour k
> Et sum_i li Q(ai) = 0 pour tout polynome Q de degre
> Et penser aux polynomes d'interpolation de Lagrange.
>
> Oui ?
>[/color]
Oui, je crois que c'est bon (prendre Qi le polynome d'interpolation de
Lagrange relatif à ai qui vaut 1 en ai et 0 en les aj, j!=i).

Merci beaucoup de ton aide !

--
albert

[Anonyme]

> Merci beaucoup de ton aide !

:-)