Base et dimension

[ThekamikazeFou]

Bonjour!
je bloque pour une partie d'un exercice que voici :
dans E=R3[X]
F={Pappartenant à E, P(1) = P(2) = 0 }

je sais que F est un sev de E.
j'ai la relation P= aX^3+bX²+cX+d et je dois trouver la relation que les coefficients a,b,c,d doivent vérifier pour que P appartiennent à F
j'ai donc
a+b+c+d=0

8a+4b+2c+d=0
j'en conclu que et que c=-7a-3b

cette relation est elle suffisante?

ensuite je suis bloqué ici :
En déduire une base et la dimension de F

Habituellement je trouve que F est un sev engendré par différent vecteur.
donc F= vect{vecteur1,vecteur2...}
j'en déduit la liberté du système ou non puis la forme de la base et ainsi la dimension.

or ici je bloque. le système n'est pas libre donc si j'ai bien compris, j'ai une CL de ce style :
P3=CL( -7P1, -3P2)
comment en déduire la colinéarité de P1 et de P2 ne connaissant aucune valeur? comment savoir si le système est libre et sa base?


merci !

[sylvainc2]

Les solutions du système forment un sev de dimension 2, donc elles ne peuvent pas être décrites par une seule équation. D'ailleurs, l'équation c=-7a-3b définit un hyperplan de R^4, donc si c'était la solution ca voudrait dire que les 2 équations du système ne sont pas indépendantes, ce qui est "visuellement" faux.

Je trouve comme solutions a=1, b=-3, c=2, d=0, et a=3,b=-7,,c=0 et d=4, donc une base de F est formée des polynômes X^3-3X^2+2X, et 3X^3-7X^2+4, tu peux vérifier qu'ils respectent les égalités P(1)=0 et P(2)=0 et qu'ils sont linéairement indépendants.

[ThekamikazeFou]

Merci beaucoup pour ta reponse, malheuresement je n'avais pas trouvé cela et ma copie est rendu...
On verra par la suite!
Bonne continuation :)