Base et dimension d'un systeme

[Devilfish]

bonjour!
je suis un peu bloquer dans mon cours de math, sur les notions de bases et dimension d'un sous espace vectoriel.
Si quelqu'un pourrait m'expliquer cela de facon clair (pas comme mon cours quoi ^^), ce serait gentil !
a bientot

[kinounou]

La dimension d'un sous-espace vectoriel est tout simplement le nombre d'éléments d'une base (n'importe laquelle, elles ont toutes le même nombre d'éléments).

Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace E, une base (e_1,..,e_n) de F est une famille génératrice et libre de F. Ou encore tout vecteur x de F s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs e_1,..,e_n :

x = a_1 e_1+...a_n e_n avec a_1,..,a_n des scalaires uniques dépendant de x.

Exemple: F = {(x,y,z) dans R^3 / x+y+z=0} est un sev de R^3 et un élément de F s'écrit:
(x,y,z)=(x,y,-x-y) (car x+y+z=0) et donc (x,y,z)=x(1,0,-1) + y(0,1,-1).
Les deux vecteurs (1,0,-1) et (0,1,-1) sont bien des éléments de F et forment une famille libre (ou tout vecetur u=(x,y,z)=a e_1+b e_2 avec a et b uniques: a=1ère composante de u et b=y seconde composante de u).

[Joker62]

Une base est une famille libre et génératrice de vecteur de ce sev.

Une famille libre tu sais ce que c'est ???

Si (e_1, e_2, ..., e_n) est une famille de n vecteurs
Alors on dit que cette famille est libre si et seulement si

a_1 * e_1 + a_2 * e_2 + ... + a_n * e_n = 0 => a_1 = a_2 = ... = a_n = 0

En gros, la seulement combinaison linéaire des vecteurs e_1, ..., e_n qui vaut 0, est la combinaison linéaire qui vaut 0...

Une famille est génératrice, si pour tout vecteur x de E, il existe a_1, a_2, ..., a_n non tous nul tel que

x = a_1 * e_1 + ... a_n * e_n

tu comprends le concept ???
En fait, tu utilises des bases depuis tout petit.
Quand tu traces un repère orthonormale (0,i,j), tu as les vecteurs i et j qui forment une base du plan.

Tout vecteur du plan peut se décomposer avec une combinaison linéaire de i et de j

Tu vois un peu mieux ?

Edit : Oups :)

[Devilfish]

merci pour vos reponses, j'ai pu avancer un peu..cependant, j'ai encore des problemes pour demontrer qu'une famille est génératrice.
exemple :

X1(2,1,3,1), X2(1,2,0,1), X3(-1,1,-3,0)

j'ai demontré que le systeme formé par ces 3 familles est liée, j'ai donc pris les deux familles X1,X2 et j'ai demontré que c'etait libre.

Il me reste a prouver que cette famille est génératrice, mais j'ai du mal a comprendre comment faire.

merci d'avance

[Devilfish]

Alala il me bloque cette exo.
On doit demontrer que la famille composé de ces trois vecteur (désolé pour l'erreur) est une base, mais d'apres Rain c'est difficile de montrer qu'elle est génératrice, comment s'y prendre?? merci a tous en tous cas

[emdro]

Bonjour,

Tu cherches à démontrer que ta famille est génératrice de quoi?
Si c'est de IR^4, c'est impossible, car c'est faux. C'est ce que Rain t'a dit.

En revanche cette famille est génératrice du sous espace (plan vectoriel) qu'elle engendre. Evidemment!