1)Base et dimension 2) polynome

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 17:10

Bonjour,
j'aimerai votre avis sur cet exercice :

F={(x1,x2,x3,x4)R^4; x1+x2=x2+x3=x3+x4=x4+x1}. Je dois montrer que c'est un sev de R^4, en donner une base et une dimension.

Voici ce que j'ai fait :
j'en ai déduit que x1=x2=x3=x4,
donc F=(x1,x1,x1,x1), F=x(1,1,1,1) et x un réel arbitraire.
Donc F est bien un sev de R^4 ce sev est une famille libre et composé de 4 vecteurs, donc c'est une base et dim F=4.
Qu'en pensez-vous ?

par **Epsilon** » 21 Mar 2007, 17:15

bonjour
si tes calculs sont bien :
puisque tout vecteur de F s'écrit comme combinaison linéaire d'un seul vecteur donc la dimension de F est 1 (et non pas 4)

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 17:19

ok
merci,le reste est bon ? Le fait qu' on puisse conclure que c'est sev ...

par **Epsilon** » 21 Mar 2007, 17:27

il faut que le 0 de R^4 appartient a F (condition nécessaire)
vérifié donc il est un s.e.v de R4

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 17:31

ok merci pour ton aide.

par **Quidam** » 21 Mar 2007, 17:34

Fanfan a écrit:j'en ai déduit que x1=x2=x3=x4,

Ben c'est faux ! D'où sors-tu ça ?
Le vecteur (1,2,1,2) est solution, non ?

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 22:26

Bonjour, je change de sujet.
Voici un polynôme :

P=(X+1)^(2n+1)-(X-1)^(2n+1)
On me demande de montrer que les racines de P sont les complexes :

Zk=-icotan(kpi/(2n+1)) 1<=k=>2n

Je ne vois par ou commencer :briques: Vous pouvez m'indiquer un méthode ?
Merci pour votre aide

par **fahr451** » 21 Mar 2007, 22:37

bonsoir

par division on se ramène à la résolution de Y^(2n+1) = 1 qui donne les 2n+1 racines ièmes de l 'unité ( sauf 1) avec Y = (Z+1)/(Z-1) et ensuite one xprime Z en fonction de Y et on utilise la transformation de 1+- exp (i a)

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 22:49

J'ai obtenu le Y, ce qui me donne donc Y^(2n+1)=1 cependant à quoi correspond le a de 1 +- exp(i a) ?
Merci pour l'aide

par **fahr451** » 21 Mar 2007, 22:56

racines de l unité Y = exp (2ikpi/(2n+1))

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 23:06

merci. J'obtiens :

Z=(Y+1)/(Y-1) avec y= exp(i a)

j'ai a exprimer l' exp en cos et sin mais j'obtiens quelque chose d'un peu compliqué. Est-ce la méthode ?

par **fahr451** » 21 Mar 2007, 23:18

non pas de cos et sin on transforme
1 + exp(ia) = exp(ia/2) [ exp(-ia/2) +exp(ia/2)] = 2 cos(a/2) exp (ia/2) (euler) idem avec 1- exp

par **Fanfan** » 21 Mar 2007, 23:30

merci bcp pour ton aide.
J'ai une petite erreur de signe mais je vois pas où :)
Bonne nuit

1)Base et dimension 2) polynome

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