Autres prob' dans mon cours

[meryem.s]

Re bonsoir à tous!
excusez moi,mais j'ai vrmt besoin d'aide...
-R est archimédien
1) C'est-à-dire ;)x>0,y>0;;)n;) N* tel que : x;)ny
2) Ce qui est équivalent aussi :;)r>0,;)n;)N* /n>r
J’ai compris la 2) mais la 1), pas vraiment !j’aimerais bien que vous me donniez un exemple pour que ça soit plus clair dans ma tête !
Parce que j’ai une démonstration ou on utilise la 1) que je n’ai pas comprise, bien que toutes les deux soient équivalentes, je veux bien la comprendre..

-Entre deux réels distincts (xxla aussi, je n’ai pas vraiment compris….un exemple concret svp!!
-La limite d’une suite est unique
Démo :lim;)(n;);));););)Un=l et;)^ lim;)(n;);)) Un=l^' ;)
Soit :;)>0 ;)m;)N/;)n;)m ,|Un-l|<;)/2
;)m';)N/;)n;)m^',|Un-l'|<;)/2
Soit m1=max(m ;m’)
;)n;)m;;)n;)m'
|l-l'|=|l-Un+Un-l'|;)|l-Un|+|Un-l'|;);)/2+;)/2;);)
;);)>0 |l-l'|;););)l-l^'=0;)l=l'
Ma question est : a quoi sert m1 ?
-Je voudrais avoir une démonstration pour lim;)(n;);)) (Un.Vn)=l.l' (le prof nous a donné les grandes lignes de la démo, mais je ne suis pas parvenue à la faire quand même)
-La limite de Um=;)(allant de k=1 jusqu'a n)(n+k)/(n²+k)
prière de m'expliquer bêtement,et merci d'avance!

[Nightmare]

Re bonsoir,

avant de me coucher un peu d'explication :

R est archimédien :

La première définition veut dire que si on se fixe deux réels x et y, alors on peut ajouter y à lui même un nombre n de fois tel qu'à partir d'un moment on dépasse x, ce qui est assez intuitif. Regarde sur une droite.
Tu fixes ton y et un x à sa droite. On voit bien qu'on peut rajouter des y un nombre de fois suffisant pour que le ny obtenu dépasse x.

Concernant la densité de Q dans R.
Là aussi c'est assez intuitif, entre deux réels on pourra toujours trouver un rationnel.

La démonstration est très visuelle.
On se fixe un intervalle [x,y]. On ne voit pas très bien ce qui se passe dans cet intervalle. On fait une sorte de zoom. On va multiplier par n de tel que sorte que la longueur de cet intervalle soit plus grande que 1.
C'est-à-dire qu'on choisit un n tel que n(y-x) > 1 (ce qui est possible par la propriété d'archimède !)
Que se passe-t-il alors?
L'intervalle [nx,ny] est de longueur supérieur à 1 donc contient forcément un entier. Prenons par exemple m=E(nx)+1, il appartient bien à [nx,ny].

Maintenant on dézoom et on regarde la quantité m/n. Miracle (pas tant que ça :lol3:) elle est rationnelle et comprise entre x et y, c'est exactement ce qu'on voulait.

Pour l'unicité de la limite.

A partir d'un certain rang m, |un-l| < e/2
A partir d'un autre rang m', |un-l'|
L'idée est de se dire "qu'est-ce qui se passe si un vérifie les deux inégalités". Pour qu'on puisse travailler avec les deux, il faut se fixer un rang à partir du quel alors les deux inégalités sont valables. Il suffit alors de prendre le plus grand entre m et m', c'est notre m1.
Le rang m1 étant plus grand que m et m', alors à partir de ce rang les deux inégalités sont vérifiées.

Pour Un.Vn -> l.l' il faut une petite astuce :
On écrit que |un.vn-l|=|lvn+(un-l)vn| et d'après l'inégalité triangulaire, cette quantité est inférieure à : |lvn|+|(un-l)vn|

Essaye de continuer.
Un indice, on utilise le résultat préliminaire :
Si un converge vers 0 et vn est bornée alors un.vn converge vers 0.

A toi de jouer.

[meryem.s]

merci bcp,mais stp ,je ne comprend pas le terme "rang"...je n'ose pas poser ce genre de questions...pour le reste,tes indications m'ont bcp aidés (j'adore le "miracle";) )

[Nightmare]

Lorsqu'on dit qu'une suite (un) vérifie une propriété à partir d'un certain rang, cela veut dire que l'on peut trouver un entier N tel que dèqs que n > N, alors (un) vérifie la propriété.

[meryem.s]

merci pour ton aide