Besoin d'une explication dans mon cours de maths SUPER IMPORTANT mais compliqué !

[atak]

Voilà le chapitre c'est Equations différentielles et je suis dans le paragraphe Systèmes différentiels.
J'ai un système de la forme X' = A X

A à deux valeurs propres 1 et -1
1 est de multiplicité trois
seulement dim E(1) = 2
on a donc deux vecteurs V1 et V2 associés à la valeur propre 1 mais on n'a pas V3 (associé à la valeur propre 1)

Dans ce cas là, le prof nous a expliqué qu'on cherchait V3, en posant :
(A-I) V3 = V2

Bon jusque là c'est OK

Valeurs numériques :
V1 (0,1,0,1)
V2 (1,0,1,0)
V3 (0,0,1,0)
V4 (1,-1,-1,1) associé à la valeur propre -1

(V1,V2,V3,V4) base dans laquelle la matrice semblable à A est la matrice B.

P = les vecteurs V1, V2, V3 et V4 mis en colonne

P^-1 A P = B

et là : problème !!!

Le prof nous donne B = les vecteurs
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,1,1,0)
(0,0,0,-1)
mis en colonne

B est la matrice "diagonale" avec les valeurs propres 1 et -1
Seulement, je ne comprends pas comment est ce qu'il a trouvé la troisième colonne de la matrice ???? -pourquoi est ce qu'il y a deux 1 ??-

Comment on trouve B ?? - attention : il ne faut pas calculer P^-1 et faire P^-1 A P !!

MERCI BCP BCP BCP !

[atak]

Il n'y a personne de sympa pour m'expliquer ????
J'y crois pas !!!

[LN1]

Bonjour,

Bon, tu n'as pas 4 vecteurs propres mais seulement 3 (deux vecteurs propres pour la valeur propre 1 et un vecteur propre pour la valeur propre 1. Ta matrice n'est donc pas diagonalisable mais trigonalisable (les coefficients restent dans le triangle supérieur droit)

tu a f(V1) = V1
f(V2) = V2
f(V4) = -V4

ce qui explique bien les deux premières colonnes et la dernière colonne.
Tu n'as pas f(V3) = V3
V3 a été trouvé comme un vecteur tel que (A - I)V3 = V2
ce qui signifie que f(V3) - V3 = V2
ou encore F(V3) = V2 + V3 ce qui explique que les coordonnées de f(V3) dans la base (V1, V2, V3, V4) soient bien (0 ; 1 ; 1 ; 0)