Automorphisme de Z(√2 )

[tommheolig]

Bonjour,

Je bloque sur deux questions d'un exercice:

On a Z(√2)={a+b√2, a, b dans Z}, Z(√3)={a+b√3, a, b dans Z}

1) Montrer que les seuls automorphismes de Z(√2) sont l'identité et l'application a+b√2→ a-b√2.

2) Montrer qu'il n'existe pas de morphisme de Z(√2)→ Z(√3)

Pour la 1) j'ai montré que ce sont des morphismes de Z(√2) → Z(√2) mais je ne vois pas comment démarrer pour montrer que ce sont les seuls.

Pour la 2) j'ai supposé qu'il en existait pour essayer de conclure par l'absurde mais je n'arrive pas à grand chose.

Merci,

[Ben314]

Salut,
Déjà, ça serait tout sauf con de préciser ce que tu entend par "automorphisme" ("morphisme", étymologiquement parlant, ça signifie "qui préserve la structure" sauf que si on sait pas de quelle structure on parle...)
Vu le résultat à démontrer, je suppose qu'il s'agit de morphisme d'anneaux unitaires, c'est à dire de morphismes qui préservent la somme, le produit et l'unité (s'il s'agissait uniquement de morphisme de groupe additif, c'est à dire qui préservent uniquement la somme, il y aurait bien plus d'automorphismes)
Si tel est bien le cas, alors un tel morphisme vérifie (par définition) et on en déduit par une récurrence évidente que pour tout .
Donc pour tout , on a ce qui signifie que le morphisme est entièrement déterminé par la connaissance de .
Que doit vérifier ? Pourquoi ?

[tommheolig]

Bonjour,

Merci pour la réponse,

Phi(√2 ) doit être telle que a+bPhi(√2) appartient à Z(√2 ), c'est à dire Phi(√2 )=c√2 avec c appartient à Z ?

[Ben314]

Phi(√2 ) doit être telle que a+bPhi(√2) appartient à Z(√2 ), c'est à dire Phi(√2 )=c√2 avec c appartient à Z ?

Absolument... pas du tout...

Si tu fixe un a et un b et que tu dit que a+bPhi(√2) est dans Z(√2 ), tout ce que ça te dit, c'est qu'il existe a' et b' tels que a+bPhi(√2)=a'+b'√2, c'est à dire que bPhi(√2)=a'-a+b'√2 et, pour le moment, y'a pas le début de la moitié d'un quelconque argument qui justifierais qu'on a forcément a'=a et je vois aucun argument non plus permettant de justifier que b divise b'.

Au mieux, ce que tu peut faire, c'est de prendre dès le départ a=0 et b=1, c'est à dire uniquement dire que Phi(√2) doit être dans Z(√2 ) (*) et ce que ça implique, c'est qu'il existe a' et b' tels que Phi(√2)=a'+b'√2, mais, sans autre argument, y'a aucune raison particulière pour que a' soit nul.

Ce qui de toute façon va impliquer que, pour tout a et tout b, le réel a+b.Phi(√2) est dans Z(√2 ) vu que Z(√2 ) est un anneau.