[MPSI] Automorphisme

[Euler07]

Salut,

Je sais qu'est ce qu'un automorphisme et en exemple il y a la fonction identité... Je me suis demandé si il y en avait pas d'autres connus ? Moi je pense que la fonction cube en ai un sur (R,x), car c'est définie sur R à valeur dans R (endomorphisme) et bijective donc automorphisme. Mon raisonnement tient il ? :id:

[Nightmare]

Salut,

faut vérifier quand même que c'est bien un morphisme multiplicatif!

Sinon des exemples tu en as plein, il faut déjà fixer l'objet de base et sa structure avec laquelle on travaille.

[arnaud32]

c'est quoi la definition d'un automorphisme? y a pas des histoires de conservation des structures alge briques, en particulier des lois de composition internes?

[arnaud32]

est ce que (R,x) est un groupe?

[Euler07]

Oups (R*,x) :/

[Euler07]

Salut,

faut vérifier quand même que c'est bien un morphisme multiplicatif!

Sinon des exemples tu en as plein, il faut déjà fixer l'objet de base et sa structure avec laquelle on travaille.

Ba oui le cube d'un produit est le produit des cubes

[Nightmare]

Bon j'ai pas en tête des exemples qui je pense te parleraient mais, les automorphismes sont beaucoup présent en théorie des corps, et particulièrement dans l'étude des équations algébriques où l'on examine les automorphismes qui "permutent" les racines des polynômes.

En théorie des anneaux, pour citer ton exemple, un automorphisme (qui n'en est pas toujours un) intéressant est l'application dite de fröbenius pour un p fixé. C'est toujours un endomorphisme (d'anneau ou de corps) et dans certains cas intéressant bijectif.

Bref, yaurait beaucoup de chose à dire, tu trouveras surement plein de truc sympas à ce sujet sur le net.

[Euler07]

Fröbenius ? Drôle de nom je vais faire des recherches...

[Ben314]

Salut,
Si tu veut un exercice un peu "vicieux", tu peut chercher quels sont les automorphismes du groupe Sn des permutations d'un ensemble à n éléments...

[Euler07]

Ah intéressent...

[Nightmare]

Ben en demande beaucoup pour un début avec les notions sur les structures :lol3:

[Ben314]

Ben en demande beaucoup pour un début avec les notions sur les structures :lol3:

C'est pas totalement faux...
C'est plus un gros exercice de "révision" sur les propriétés de Sn que vraiment un exercice sur les automorphismes.
Aprés, sur les exos. concernant les automorphismes, j'aurais tendance à percevoir assez différemment le cas ou la loi est commutative (où on est au mini sur une structure de Z-module) du cas non commutatif où très souvent, c'est la non commutativité qui donne des infos sur les automorphismes.

Par exemple, trés gentil : déterminer tout les automorphismes du groupe additif Z².

[Euler07]

C'est pas totalement faux...
C'est plus un gros exercice de "révision" sur les propriétés de Sn que vraiment un exercice sur les automorphismes.
Aprés, sur les exos. concernant les automorphismes, j'aurais tendance à percevoir assez différemment le cas ou la loi est commutative (où on est au mini sur une structure de Z-module) du cas non commutatif où très souvent, c'est la non commutativité qui donne des infos sur les automorphismes.

Par exemple, trés gentil : déterminer tout les automorphismes du groupe additif Z².

C'est quoi ça encore :doh:

[Ben314]

Tu as pas vu ce que c'était un groupe ?
(Z,+) c'est un groupe et Z²=ZxZ est le produit de deux groupes : c'est donc un groupe.

[Euler07]

Ah oui, c'est additif qui me faisais peur, je croyais avoir oublié d'apprendre quelque chose.. Ouf