Arithmétique, puissances dans Z/7Z

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Skullkid
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Arithmétique, puissances dans Z/7Z

par Skullkid » 17 Sep 2007, 20:25

Bonsoir, on me demande de déterminer tous les entiers naturels x tels que soit divisible par 7.

En cherchant, je suis parvenu à comme ensemble de solutions, mais c'est faux puisque 31 est une solution...

J'étais parti du fait que 5 est le seul entier compris entre 0 et 6 qui soit solution, et j'en avais déduit que toutes les solutions étaient congrues à 5 modulo 7 (ce qui est faux...). Puis par des considérations sur l'indicatrice d'Euler j'avais éliminé les entiers qui n'étaient pas congrus à 5 modulo 42 (c'est peut-être encore faux ?)

Bref, pour l'instant je n'ai que l'inclusion de dans l'ensemble des solutions, et je ne trouve pas comment résoudre...

Merci d'avance à ceux qui pourront me donner un coup de pouce.



emdro
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par emdro » 17 Sep 2007, 20:51

Hello cher Skullkid,

as-tu pensé à utiliser le petit théorème de Fermat?

Skullkid
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par Skullkid » 17 Sep 2007, 21:21

Je l'avais utilisé après avoir restreint l'ensemble de résolution aux entiers congrus à 5 modulo 7 ( donc en particulier, si n est divisible par 6, 5+7n est solution, d'où mon )

Mais sinon je ne vois pas comment l'utiliser autrement, enfin à part pour dire que 6 ne divise pas x, mais je suppose qu'on peut en déduire bien plus...j'ai vraiment aucun atome crochu avec l'arithmétique...

emdro
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par emdro » 17 Sep 2007, 21:23

Cela vaudrait le coup de regarder les différents x en fonction:
*du reste modulo 7 (pour la base)
*du reste modulo 6 (pour l'exposant).

Cela te fait plus de cas à étudier (42 a priori), mais tu aurais tout...

Skullkid
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par Skullkid » 17 Sep 2007, 21:48

Ça marche, en plus du cas il y a le cas .

En résolvant le système de congruences j'obtiens que l'ensemble des solutions est .

Je suppose que je dois apprendre à examiner tous les cas...merci beaucoup pour ton aide :)

emdro
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par emdro » 17 Sep 2007, 21:51

Skullkid a écrit:Je suppose que je dois apprendre à examiner tous les cas...merci beaucoup pour ton aide :)


Disons qu'il ne faut pas le craindre. :++:
Le plus important était de ne pas chercher à faire une congruence modulo 7, mais modulo 6 à l'exposant...

Skullkid
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par Skullkid » 17 Sep 2007, 21:58

Le peu de paresse qu'il me reste est mis à rude épreuve =/

emdro
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par emdro » 17 Sep 2007, 22:04

:ptdr:
On n'est jamais paresseux pour les choses qu'on aime!

 

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