Arithmétique dans Z[i]

[marykate_sk]

bonjour,

j'aimerais savoir quelles sont les notions de division euclidienne,de théorème de bezout,l théorème de gauss défini sur Z[i], notions sur Z que l'on peut transposer sur Z[i].

merci d'avance

[redwolf]

Bonsoir.

Tout simplement : toutes ces notions se retrouvent pour .

Il y a une division euclidienne : pour et , dans , il existe et dans tels que et (on dit que est "norme-euclidien", parce que c'est la norme qui sert de stathme euclidien).

A partir de là, est principal (ceci est équivalent au théorème de Bezout), factoriel, etc.... tout se passe comme dans .

La seule différence, c'est qu'il y a quatre unités (1, -1, i et -i). Il n'y a donc plus un nombre qu'on appelle pgcd de deux nombres, c'est l'idéal engendré par ces deux nombres qu'on appelle pgcd.

[marykate_sk]

merci bien redwolf,

j'ai compris le principe pour la division euclidienne
en revanche je comprend pas trop le pgcd sur Z[i ] est ce que tu pourrais me donner un exemple?

merci d'avance

[redwolf]

Re Bonsoir.

Je reparle un peu de d'abord : dans , si divise et divise , on a soit soit . Si on ne prend que des nombres positifs, on se débarrasse du problème et on peut dire : divise et divise si et seulement si .
Quand au plus grand commun diviseur, il est défini de manière unique parce que l'ordre sur est total.

Dans , il n'y a rien de tel : si divise et divise , il y a quatre possibilités : , , ou . On dit que et sont associés, mais aucune des quatre directions n'est privilégiée.
De même, il n'y a pas d'ordre naturel sur . On ne pourra donc pas parler du "plus grand" commun diviseur, parce que "plus grand" n'a pas de sens.
On ne peut prendre que le plus grand en norme. Mais alors il y a quatre candidats qui diffèrent d'une unité.

La solution retenue pour (mais aussi pour bien d'autres anneaux du même type), c'est de remplacer le pgcd de a et b par l'idéal engendré par a et b. C'est un objet unique, bien que chacun des quatre nombres dont je parlais plus haut en soit un générateur.

[redwolf]

Ah ! J'ai relu la question, et j'ai vu que tu voulais un exemple.

Alors essaye de calculer le pgcd de -7-i et de 5+i par l'algorithme d'Euclide. Tu devrais trouver 1+i. Mais au cours du calcul, tu verras que les quotients et les restes ne sont pas uniques. On a plusieurs choix. Tu pourrais aussi bien trouver 1-i, -1-i ou -1+i. Ces quatre nombres sont associés.

[marykate_sk]

bonsoir,


En fait ,j'ai un petit problème pour le calcul du pgcd de -7-i et 1+5i.
Parmi plusieurs tentative j'ai:

-7-i=(5+i)*(-1)-2
5+i=-2*(-3-i)+(-1-i)
-3-i=(-1-i)*

pour cette ligne j'arrive pas a trouver un reste dont le module est inférieur à
racine de 2.

je n'arrive jamais à un reste nul .Est ce que le fait que ça bloque montre
que -1-i est le pgcd?
Est ce que tu pourrais montrer les calculs qui t'ont amené à trouver une des solutions?

merci d'avance

[redwolf]

Alors pour ton calcul, c'est très simple, -1-i divise -3-i (comme tu le verras en écrivant la fraction et en multipliant en haut et en bas par la quantité conjuguée) et -1-i est bien "le pgcd".

Moi j'avais trouvé -1+i en écrivant :

-7-i=(5+i)*(-1)-2
5+i=-2*(-2)+(1+i)
-2=(1+i)*(-1+i)+0

[marykate_sk]

ok -1-i divise bien -3-i et ça marche .

merci

[redwolf]

Connais tu le Hardy & Wright ? La référence des références en théorie des nombres. Il y a une version scannée ici :
http://modular.fas.harvard.edu/scans/papers/hardy/Hardy-Wright-Theory_of_Numbers.pdf

Je suis sur que les chapitres XII et XIV t'intéresseraient beaucoup.

Bonne lecture, et bonne nuit !

[quinto]

Salut, je ne suis pas expert en algèbre, mais quelque chose me frappe:

A partir de là, est principal [...]
Il n'y a donc plus un nombre qu'on appelle pgcd de deux nombres, c'est l'idéal engendré par ces deux nombres qu'on appelle pgcd.

Si Z[i] est principal, l'idéal engendré par nos deux nombre est lui même principal, non? Donc on peut trouver un unique générateur. Pourquoi ne peut on pas dire que c'est lui le pgcd? (ou un pgcd parce qu'il n'y a probablement pas d'unicité)

A+

[redwolf]

Bonjour.

Quinto, tu réponds à ta propre question. Il n'y a pas un unique générateur pour un idéal principal. Dans déjà, il y a deux générateurs par idéal non nul, et on dit "le pgcd" parce qu'il y a une direction privilégiée (la direction positive).
Dans d'autres anneaux, chaque générateur peut être appellé "un pgcd" mais aucun ne mérite le titre "le pgcd".

Dans des anneaux principaux plus exotiques que Z ou Z[i], "pgcd" ne veut vraiment plus rien dire, parce qu'il n'y a même pas de norme pour laquelle il soit "plus grand" que les autres.

Le bon objet est bien + : la somme des idéaux engendrés par a et b.

[yos]

Bonsoir.
Quinto n'a pas tort cependant. L'intérêt des anneaux principaux, c'est que les idéaux coïncident avec les éléments. Les unités ne sont pas un obstacle et on peut dire (comme le dit Redwolf) que "le" PGCD est -1+i ou -1-i.
Les idéaux sont indispensables pour faire de l'arithmétique dés que l'anneau n'est plus principal comme Z[irac(5)].

[marykate_sk]

Bonsoir ,

je ne connaissais pas le Hardy & Wright ,mais déjà le peu que j'ai lu m'interesse ,je vais esayer de me le procurer la version française
(si elle existe )
merci encore une fois

[quinto]

Merci pour vos deux réponses.
A+

[marykate_sk]

Bonjour,
j'essaie de démontrer le résultat suivant

Un entier est somme de deux carrés si et seulement si les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 qui le divisent ont une valuation paire.

j'ai trouvé un exo qui utilise les entiers de gauss avoir ce résultat.

D'abord on démontre que si x et y sont somme de 2 carrés alors le produit aussi (facile)
Ensuite on montre que si un nombre premier impair est somme de 2 carrés il est nécessairement de la forme 4k+1 (je l'ai fait )
Ensuite, on suppose p de la forme 4k+1 et on veut montrer que p est somme de 2 carrés .Puis sachant qu'il y a un entier n tel que p/1+n^2 ,n entre 1 et p-1

Considérant,le pgcd d de n+i et p on doit montrer que p est bien somme de 2 carrés.Ce que je n'arrive pas à faire .Voilà ce que j'ai

d=a+ib divise p donc mp donc n^2+1, d divise (n+i)(n-i) je pense qu'il faut montrer que p=a^2+b^2
en considérant d'=a-ib (pgcd de p et n-i?)

Enfin à partir de là comment en déduire le résultat, i.e. tout entier est somme de 2 carrés ssi tout nombre premier 4k+3 à une puissance paire dans sa décomposition en facteurs premiers.

merci d'avance à ceux qui voudront m'aider

[redwolf]

Bonjour.

d ne peut être égal à p, sans quoi on aurait p divise n+i, ce qui est faux puisque 1/p n'est pas un entier.
d ne peut être égal à 1, car p serait alors premier avec n+i, donc aussi avec n-i (par conjugaison) et donc aussi avec leur produit .

Mais divise dans . D'après ce qui précède, ne peut être égal ni à (car d serait associé à p) ni à 1 (car d serait associé à 1).
C'est donc que est égal à p, c'est-à-dire :
.

[yos]

1) Apparemment, tu sais faire l'existence de n tel que p|n²+1 ??

2) Si d=1, alors d'après Gauss, d|n-i, puis en conjuguant, d|n+i . C'est absurde. Ainsi d est différent de 1. On pose d=a+bi et on a donc
p=(a+bi)(c+di) où a+bi et c+di sont des entiers de Gauss autres que des unités.
En prenant les modules au carré : p²=(a²+b²)(c²+d²). On a ici un produit dans Z. Le premier membre est une décomposition en facteurs premiers, et les deux facteurs du second membre sont différents de 1, donc ils valent chacun p. (C'est bien ce que tu pensais : p=(a+bi)(a-bi)).

3) Soit N un entier dont les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 sont de valuations paires. Alors , où les sont les premiers congrus à 1 modulo 4, et où M² regroupe les autres facteurs. On a chaque qui est somme de deux carrés, donc leur produit aussi et finalement N aussi.
Réciproquement, il faut supposer qu'un premier congru à 3 modulo 4 apparait avec une valuation impaire et montrer que N e peut être somme de deux carrés et là je ne vois pas dans l'immédiat, mais cela ne doit pas être dur.

[redwolf]

Voici l'argument de Hardy & Wright concernant le dernier point qu'évoque yos :

1) Si p=4m+3, p divise n et alors x et y ne peuvent pas être premiers entre eux.
Si c'était le cas, p ne pourrait diviser ni x ni y. Il y aurait donc un entier z tel que et on aurait .
D'où , et c'est une contradiction, puisque -1 n'est pas un carré modulo p.

2) Toujours avec p=4m+3 et p divsant n : on appelle c l'exposant de p dans n et on suppose que c est impair. Supposons que. Posons d=pgcd(x,y) et l'exposant de p dans d.

avec X et Y premiers entre eux. Posons . p divise N fois et ne peut pas être nul parce que c est impair. p divise donc N et avec X et Y premiers entre eux. Ceci contredit le 1).

[yos]

Contrairement à ce que je pensais, c'est pas immédiat.
Marycate_sk, il manque des questions dans ton problème...

[marykate_sk]

MERCI pour vos réponses Redwolf et Yos.

J'ai compris vos réponses sauf la partie sur hardy and wright je la regarderais plus en détail demain.,

Yos je n'ai pas oublié de questions le problème était posé comme cela