Arithmétique autour des puissances de 2

par **Karajan** » 23 Déc 2014, 18:11

Bonjour,
je suis en MPSI, et je cherche à démontrer la proposition suivante:
Soit n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, il existe une infinité de valeurs de n tel que le premier nombre du développement décimal de 2^n soit 7.
J'ai déjà vérifié qu'il existe au moins une valeur de n qui correspond aux conditions, n=46.
Ensuite pour démontrer qu'il en existe une infinité, je suis bloqué. La récurrence me laisse perplexe et ne me semble pas coller au problème, et pour l'absurde idem, je ne vois pas comment démarrer.
Existe t-il des théorèmes autours des puissances de 2 qui me permettraient d'avancer? Ou auriez vous des pistes à me proposer?
Mon sommeil vous remerciera

par **Manny06** » 23 Déc 2014, 18:23

Karajan a écrit:Bonjour,
je suis en MPSI, et je cherche à démontrer la proposition suivante:
Soit n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, il existe une infinité de valeurs de n tel que le premier nombre du développement décimal de 2^n soit 7.
J'ai déjà vérifié qu'il existe au moins une valeur de n qui correspond aux conditions, n=46.
Ensuite pour démontrer qu'il en existe une infinité, je suis bloqué. La récurrence me laisse perplexe et ne me semble pas coller au problème, et pour l'absurde idem, je ne vois pas comment démarrer.
Existe t-il des théorèmes autours des puissances de 2 qui me permettraient d'avancer? Ou auriez vous des pistes à me proposer?
Mon sommeil vous remerciera

que voulez vous dire par "premier nombre du développement décimal de 2^n"

par **beagle** » 23 Déc 2014, 18:27

Manny06 a écrit:que voulez vous dire par "premier nombre du développement décimal de 2^n"

le premier chiffre à gauche en fait,
ça marche avec 56 , 66, 76 ,86, 96 et ensuite 106 passe à 8, ...
(probablement que c'est parce que 2^10= 1024)

par **Doraki** » 23 Déc 2014, 18:56

le premier chiffre est en 7 <=> la partie fractionnaire de n*(log 2)/(log 10) est dans un certain intervalle de [0;1].

Maintenant, (log 2)/(log 10) est irrationnel, et y'a un théorème qui dit que alors il y en a une infinité.

En fait dans les cas concrets on peut même trouver un entier k tel que parmi k entiers successifs, l'un va marcher (il suffit de regarder pour quel k est-ce que la réunion de k de ce petit intervalle, décalés successivement de log2/log10, remplit [0;1])

par **nodjim** » 23 Déc 2014, 18:57

En fait, on démontre que dans l'ensemble des puissances de 2 écrit en base 10, on trouvera toujours une infinité d'entre eux dont le début correspond à n'importe quel nombre donné.
Trouver d'abord un nombre écrit en base 2 qui commence par 7.
Ensuite, montrer qu'on peut toujours trouver une puissance de 2 aussi proche qu'on veut soit de 999..soit de 1000...
Multiplier ce 999...ou 1000...par la puissance qui commence par 7 donnera une autre puissance de 2 qui commence par 7.

par **nodjim** » 23 Déc 2014, 19:00

On n'est pas forcément obligé de passer par les logs, il n'est pas certain que le théorême que tu cites soit connu.

par **chan79** » 23 Déc 2014, 19:18

nodjim a écrit:On n'est pas forcément obligé de passer par les logs, il n'est pas certain que le théorême que tu cites soit connu.

Un [url=http://]lien[/url] à ce sujet

par **chan79** » 23 Déc 2014, 19:20

Salut
Un lien proche de ce sujet

par **Karajan** » 24 Déc 2014, 10:39

Merci messieurs les complexes pour vos réponses rapides et efficaces :we:

Arithmétique autour des puissances de 2

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