Arithmétique (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

on note phi(n) le cardinal du groupe des inversibles de Z/nZ.
Je dois montrer que a premier avec b => phi(ab) = phi(a) * phi(b).

Je pense qu'il existe une preuve arithmétique et une preuve par les
ensembles (lemme du berger sans doute...), mais je ne trouve pas.
Pourriez vous me donner un coup de main ?

merci d'avance

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41FFC8D4.8060204@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> on note phi(n) le cardinal du groupe des inversibles de Z/nZ.
> Je dois montrer que a premier avec b => phi(ab) = phi(a) * phi(b).
>
> Je pense qu'il existe une preuve arithmétique et une preuve par les
> ensembles (lemme du berger sans doute...), mais je ne trouve pas. Pourriez
> vous me donner un coup de main ?
>
> merci d'avance
>

Tu peux utiliser le lemme chinois.

[Anonyme]

> on note phi(n) le cardinal du groupe des inversibles de Z/nZ.
> Je dois montrer que a premier avec b => phi(ab) = phi(a) * phi(b).
>
> Je pense qu'il existe une preuve arithmétique et une preuve par les
> ensembles (lemme du berger sans doute...), mais je ne trouve pas. Pourriez
> vous me donner un coup de main ?

Indication: si tu trouves un isomorphisme d'anneaux entre Z/(ab)Z et Z/(aZ)
x Z/(bZ), il induira un isomorphisme de groupes entre leurs groupes
d'inversibles.
Le lemme chinois devrait t'y aider.

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit:

> Indication: si tu trouves un isomorphisme d'anneaux entre Z/(ab)Z et Z/(aZ)
> x Z/(bZ), il induira un isomorphisme de groupes entre leurs groupes
> d'inversibles.
> Le lemme chinois devrait t'y aider.
>

Ok j'ai compris. Merci bien.


--
albert

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
41ffda95$0$2184$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> Indication: si tu trouves un isomorphisme d'anneaux entre Z/(ab)Z et
> Z/(aZ) x Z/(bZ), il induira un isomorphisme de groupes entre leurs groupes
> d'inversibles.
> Le lemme chinois devrait t'y aider.

Et existe-t-il une autre méthode qui n'utilise pas le lemme chinois? Je veux
dire, peut-on le démontrer "à la main"?

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41FFC8D4.8060204@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> on note phi(n) le cardinal du groupe des inversibles de Z/nZ.
> Je dois montrer que a premier avec b => phi(ab) = phi(a) * phi(b).
>
> Je pense qu'il existe une preuve arithmétique et une preuve par les
> ensembles (lemme du berger sans doute...), mais je ne trouve pas.
> Pourriez vous me donner un coup de main ?

Un coup de souris serait plus approprié :=)

Soit d premier à ab.
Puisque a et b sont premiers entre eux, si d est premier à a*b alors d est
premier à a (sinon, un nombre premier divise d et a donc il divise d et
a*b).
De même d est premier à b.
Réciproquement, si d est premier à a et à b montrons que d est premier à
a*b.
Sinon, il existe un diviseur premier p divisant d et a*b. Le lemme de Gauss
te montre que p divise a ou b. S'il divise a alors p divise d et a donc d et
a ne sont pas premiers entre eux, ce qui absurde. De même p ne peut diviser
b. Par conséquent, p=1 ce qui est impossible donc d est premier à a*b.

Ainsi d premier à a*b ssi (d premier à a et d premier à b)

Soit d un nombre premier à a*b et d Z/bZ, k-->k*a+r
mod(b) est bijective (car a est inversible dans Z/bZ)
Ainsi l'ensemble {k*a+r, k dans [0,b[ avec k*a+r premier à b} est de même
cardinal que l'ensemble {k dans [0,b[ et k premier à b}
Ainsi, pour chaque r fixé, il y a phi(b) éléments inversibles premiers à b
de la forme k*a+r
Ainsi {d premier à a*b et d<a*b et d premier à a*b}=union{r premier à a et
r<a, { k*a+r, k premier b et k dans [0,b[}
La réunion étant disjointe, on a
phi(a*b) = phi(b)+phi(b)+..+phi(b) (phi(a) fois) = phi(a)*phi(b)


********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

masterbech a écrit:

> Un coup de souris serait plus approprié :=)
>
[...]


> phi(a*b) = phi(b)+phi(b)+..+phi(b) (phi(a) fois) = phi(a)*phi(b)


Merci pour cette réponse différente, et plus généralement pour tes
réponses toujours précises et intéressantes.

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41FFF16A.203@hotmail.com...
> masterbech a écrit:
>[color=green]
> > Un coup de souris serait plus approprié :=)
> >
> [...]
>
>
> > phi(a*b) = phi(b)+phi(b)+..+phi(b) (phi(a) fois) = phi(a)*phi(b)
>
>
> Merci pour cette réponse différente, et plus généralement pour tes
> réponses toujours précises et intéressantes.
>
> --
> albert
>[/color]

Le théorème chinois est hors programme en spé maintenant, donc encore moins
utilisable en sup...

[Anonyme]

> Le théorème chinois est hors programme en spé maintenant, donc encore
> moins
> utilisable en sup...

Décidemment, tout fout le camp... Heureusement que le niveau monte!

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit:[color=green]
>>Le théorème chinois est hors programme en spé maintenant, donc encore
>>moins
>>utilisable en sup...
>
>
> Décidemment, tout fout le camp... Heureusement que le niveau monte!
>[/color]

Rien n'empêche de l'utiliser et encore moins de le connaitre. C'est mon
cas...
Et il simplifie quand même bien les choses sur ce coup là (même si
j'apprécie la démo proposée par masterbech).

--
albert

[Anonyme]

>> Décidemment, tout fout le camp... Heureusement que le niveau monte![color=green]
>>
>
> Rien n'empêche de l'utiliser et encore moins de le connaitre. C'est mon
> cas...
> Et il simplifie quand même bien les choses sur ce coup là (même si
> j'apprécie la démo proposée par masterbech).[/color]

Oui, surtout qu'il ne coûte vraiment pas cher à démontrer!

--
Mû