Arithmétique - Equations dans Z/nZ

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Lynk
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Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par Lynk » 27 Nov 2016, 22:14

Bonjour,
j'ai un peu de mal à comprendre mon cours d'arithmétique sur les anneaux et les classes de congruence inversibles, aussi j'aurais besoin de votre aide au sujet d'un exercice 8-)

1) Résoudre (171*)x = (7* ) dans Z/212Z en notant (a*) la classe de congruence inverse de a.
En appliquant l'algorithme d'Euclide, je trouve que 171 a pour inverse 31 et 7 a pour inverse 91.
Seulement, je n'arrive pas à comprendre comment passer aux congruences :
si (171*)x = (7*) <=> 171x ≡ 7 [212] <=> x ≡ 5 [212]
ou (171*)x = (7*) <=> 31x ≡ 91 [212] <=> x ≡ 85 [212]

2) Résoudre dans Z/37Z le système :
(3*)x + (7*)y = (3*)
(6*)x - (7*)y = (0*)

Mon premier réflexe consisterait à sommer les deux équations mais du coup ai-je le droit d'écrire (3*)+(6*) = (9*) ?
Ce qui donnerait (9*)x = (3*) et je me ramène à un cas comparable à celui du 1) :

ou bien 9x ≡ 3 [37]
ou bien l'inverse de 9 étant (-4) et l'inverse de 3 étant -12, l'équation est plutôt équivalente à -4x ≡ -12 [37] ?

Merci de m'éclairer sur la façon de procéder parce que j'ai vraiment du mal avec ces notations :(



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zygomatique
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par zygomatique » 27 Nov 2016, 22:18

salut

il suffit de savoir que l'inverse de l'inverse est ....
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Ben314
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par Ben314 » 27 Nov 2016, 22:43

Salut,
Perso, vu ce qui est écrit en dessous, j'aurais un peu tendance à me demander si son "en notant (a*) la classe de congruence inverse de a." ben c'est en fait un ""en notant (a*) la classe de a dans Z/212Z"

Tu peut préciser un peu quelle est, selon toi, la définition précise de ce qu'est une "classe de congruence inverse" ?
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Lynk
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par Lynk » 27 Nov 2016, 22:56

Oui désolé je me doute que ce n'est pas très clair mais ça ne l'est pas vraiment pour moi-même. En fait dans l'exercice, la notation utilise des barres au-dessus des nombres, mais j'ai mis des étoiles car je ne sais pas reproduire la même notation au clavier.
La définition que j'ai dans mon cours est : "Une classe de congruence (a*) appartenant à Z/nZ est inversible s'il existe une classe (b*) telle que (a*)(b*) = (1*)."
Le problème étant que je n'arrive effectivement pas à comprendre ce qu'est réellement (a*) et à quelle condition j'ai le droit "d'enlever" les * et me ramener à une forme de congruence...

Donc si vous pouviez m'aider à éclaircir un peu tout ça, ce serait vraiment sympa :)

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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par Ben314 » 27 Nov 2016, 23:14

Si tu as uniquement des barres au dessus des lettres et rien d'autre, alors c'est uniquement des "classes" ou si tu veut des "classes de conjugaison", mais ça n'a rien à voir avec la notion "d'inverse".
Et sinon, concernant la "traduction", ben on peut pas faire plus simple :
dans , ben par définition, c'est très exactement la même chose que
Si c'est tes premiers exos, prend la notation que tu veut, mais il faut petit à petit s'habituer à la première notation vu que le fait d'avoir un "vrai égal" est bien plus pratique que d'avoir un , par exemple pour pouvoir parler d'inverses et que cet inverse soit unique.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Lynk
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par Lynk » 27 Nov 2016, 23:33

D'accord, donc j'ai bien (171*)x = (7*) <=> 171x ≡ 7 [212] <=> x ≡ 5 [212] ?
Merci de m'avoir éclairé :)

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zygomatique
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par zygomatique » 28 Nov 2016, 21:11

1) Résoudre (171*)x = (7* ) dans Z/212Z en notant (a*) la classe de congruence inverse de a.

alors dans ce cas :

de la même façon que dans R

...
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arnaud32
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Re: Arithmétique - Equations dans Z/nZ

par arnaud32 » 29 Nov 2016, 13:45

pour commencer 212=7*2^4 et 171= 24*7+3

 

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