Approximation numérique du Laplacien 1D avec second membre

[Luc]

Bonjour,

je m'intéresse à l'équation suivante, sur l'intervalle [0,1]



avec les conditions aux limites .

On considère en fait une version simplifiée du problème, en prenant k constante et f monochromatique, soit l'équation : avec les C.L. .

J'ai démontré que si n'est pas multiple de , alors il existe une unique solution, donnée . Si est multiple de mais différent de , les solutions s'écrivent , il y en a donc une unique si et une infinité sinon. Enfin, si , une solution particulière est donnée par , et les solutions s'écrivent , il y en a donc une infinité.

Mon problème est le suivant : je souhaite calculer une solution approchée de cette équation, par (au choix) une méthode de différences finies de pas , ramenant le problème à un système linéaire résolu par une décomposition LU de la matrice de rigidité ; ou une méthode d'éléments finis via un maillage 1D de l'intervalle [0,1] en arêtes, ramenant le problème à un système linéaire résolu par gradient conjugué.

Dans les cas où le problème est bien posé (une unique solution mathématique), je pense qu'il n'y aura pas de problème (on peut se poser la question de la convergence et de sa vitesse).
Mais que se passe-t-il dans les cas où il y a une infinité de solutions? Le problème est alors mal posé. Vers quoi mes méthodes numériques vont-elles converger? Seront-elles déterministes?

Luc

[BiancoAngelo]

Bonjour,

je m'intéresse à l'équation suivante, sur l'intervalle [0,1]



avec les conditions aux limites .

On considère en fait une version simplifiée du problème, en prenant k constante et f monochromatique, soit l'équation : avec les C.L. .

J'ai démontré que si n'est pas multiple de , alors il existe une unique solution, donnée . Si est multiple de mais différent de , les solutions s'écrivent , il y en a donc une unique si et une infinité sinon. Enfin, si , une solution particulière est donnée par , et les solutions s'écrivent , il y en a donc une infinité.

Mon problème est le suivant : je souhaite calculer une solution approchée de cette équation, par (au choix) une méthode de différences finies de pas , ramenant le problème à un système linéaire résolu par une décomposition LU de la matrice de rigidité ; ou une méthode d'éléments finis via un maillage 1D de l'intervalle [0,1] en arêtes, ramenant le problème à un système linéaire résolu par gradient conjugué.

Dans les cas où le problème est bien posé (une unique solution mathématique), je pense qu'il n'y aura pas de problème (on peut se poser la question de la convergence et de sa vitesse).
Mais que se passe-t-il dans les cas où il y a une infinité de solutions? Le problème est alors mal posé. Vers quoi mes méthodes numériques vont-elles converger? Seront-elles déterministes?

Luc

Il n'y pas d'infinité de solutions, puisqu'il y a des conditions limites ( à moins que les conditions limites soient liées et donc pas de très bonnes conditions, ce qui serait étonnant).
Donc à partir du moment où tu as fixé ces valeurs limites pour démarrer tes approximations, ça convergera vers les solutions correspondantes (s'il y a convergence).

[Luc]

Il n'y pas d'infinité de solutions, puisqu'il y a des conditions limites ( à moins que les conditions limites soient liées et donc pas de très bonnes conditions, ce qui serait étonnant).
Donc à partir du moment où tu as fixé ces valeurs limites pour démarrer tes approximations, ça convergera vers les solutions correspondantes (s'il y a convergence).

En fait, les conditions limites sont liées si et seulement si est multiple de . A ce moment-là, la condition est dégénérée puisque est forcément 1-antipériodique par sa forme, et que .

On peut démontrer en revanche que le problème , avec les C.L. est quant à lui bien posé.

EDIT : je viens de voir, pour l'équation qui est en fait l'équation Helmholtz 1D, qu'il existe pour les équations de Helmholtz une condition (dite de Sommerfeld) qui garantit l'unicité de la solution dans l'espace libre. Avec des conditions de Dirichlet en revanche, je ne sais pas. On parle dans la littérature de "résonances de Dirichlet".